2
当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，等价于k＜0.5x﹣xlnx．…（4分） 令g（x）=0.5x﹣xlnx，则g′（x）=x﹣1﹣lnx．…（5分） 令h（x）=x﹣1﹣lnx，则h′（x）=
．
2
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增， 故h（x）＞h（1）=0…（6分）
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增， 故g（x）＞g（1）=0.5．…（7分） ∴k≤0.5．…（9分）
（3）证明：由（2）得，当x＞1时，lnx﹣0.5x+又xlnx＞0， 从而，
＞
=
﹣
．…（11分）
＜0，可化为xlnx＜
，…（10分）
把x=2，…n分别代入上面不等式，并相加得，
+
+…+
＞1﹣+﹣+…+
﹣
=1+﹣﹣
=
．…（14分）
点评： 本题属导数的综合应用题，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的最值，考查不等式的证明，有难度．
请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C． （Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．
考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆．
分析： （Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA； （Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径． 解答： 证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径， 则∠BED+∠EDB=90°， ∵BC⊥DE，
∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED， ∵AB切⊙O于点B，
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∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA； （Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA， 则∵BC=∴AB=3
=3， ， ，AC=
，
则AD=3，
由切割线定理得AB=AD?AE， 即AE=
，
2
故DE=AE﹣AD=3， 即可⊙O的直径为3． 点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
2015?陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
考点： 点的极坐标和直角坐标的互化． 专题： 坐标系和参数方程． 分析： （I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2可得出；． （II）设P
，又C
．利用两点之间的距离公式可得|PC|=
，再
sinθ．化为ρ=2
2
，把代入即
利用二次函数的性质即可得出． 解答： 解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2∴ρ=2配方为（II）设P∴|PC|=
2
sinθ．
，化为x+y=
=3．
，又C
22
，
．
=
≥2
，
因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）． 点评： 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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【选修4-5：不等式选讲】
2015?陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4} （Ⅰ）求实数a，b的值； （Ⅱ）求+的最大值．
考点： 不等关系与不等式． 专题： 不等式的解法及应用．
分析： （Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得； （Ⅱ）原式=
+
=
+
，由柯西不等式可得最大值．
解答： 解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a， 又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}， ∴
，解方程组可得
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得==2
+
≤
+=+
=4，
当且仅当=即t=1时取等号，
∴所求最大值为4 点评： 本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．
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