11．（2010 河北）如图16，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，?B?90?，AD = 6，BC = 8，
AB?33，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀
速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．
设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关
系式（不必写t的取值范围）．
（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某
个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t．．
的取值范围；若不能，请说明理由．
A E D B P M 图16
Q C A D B M （备用图）
C
【答案】解：（1）y = 2t；
（2）当BP = 1时，有两种情形：
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①如图6，若点P从点M向点B运动，有 MB = BC= 4，MP = MQ = 3，
21A E ∴PQ = 6．连接EM，
D ∵△EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴EM?33． ∵AB = 33，∴点E在AD上．
B P
M
图6
Q C
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面
积为93．
②若点P从点B向点M运动，由题意得 t?5．
PQ = BM + MQ?BP = 8，PC = 7．设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的
E A H F G D 延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则 HP = 33，AH = 1．在Rt△HPF中，∠HPF = 30°， ∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2， ∴点G与点D重合，如图7．此时△EPQ与梯形ABCD
B P
M
图7
C Q 的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为
2723．
（3）能．
4≤t≤5．
12．（2010浙江湖州）如图，已知在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A
＝60°，
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AD＝2，求对角线BD的长．
【答案】（1）∵DC∥AB，AD＝BC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠A＝60°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝
12∠ABC＝30°．
（2）∵∠A＝60°，∠ABD＝30°，∴∠ADB＝90°，∴AB＝2AD＝4，∴对角线BD＝4?2?23 2213．（2010 山东滨州）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
(1)请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么.
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(2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？
【答案】解：(1) 四边形EFGH为平行四边形.....................................1分
连
AC.............................................. ..............2分
∵E、F分别是AB、BC的中点，EF∥AC，EF=同理HG∥AC，HG=∴EF∥HG, EF=HG.
∴四边形EFGH是平行四边形. .................... ..............4分
(2) 四边形ABCD的对角线垂直且相等.
14．（2010广东中山）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，∠C=∠EFB=900，∠E=∠ABC=300，AB=DE=4．
（1）求证：ΔEGB是等腰三角形；
（2）若纸片DEF不动，问ΔABC绕点F逆时针旋转最小 度时，四边形ACDE成
为以ED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．
1212接
AC.
AC.
【答案】（1）证明：在RtΔEFB中，∠E=30 ∴∠EBF=60 又∵∠ABC=30
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000∴∠EBG=∠E=300 ∴EG=BG
∴ΔEGB是等腰三角形 （2）解：答案填30，
设CB交DE于点M，当∠BFD=300时，∠FMD=900 所以，AC∥DE，
即四边形ACDE成为以ED为底的梯形
在RtΔABC和RtΔDEF中，∠E=∠ABC=300，AB=DE=4， ∴BC=23，DF=2 ∴CF=23-2
在RtΔFDM中，求得FM=3 ∴CM=23-2+3=33-2 故梯形的高为33-2．
15．（2010湖北荆州）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=
14OA=2，AB=3，∠OAB=45°，
E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°． （1）直接写出．．．．D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△A?EF，求△A?EF与五边形OEFBC重叠部分的面积．
【答案】解：（1）D点的坐标是(（2）连结OD,如图（1），
322,322).
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由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，则
∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3 由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45° ∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF ∴
OEAF?ODAE，即：
xy?342?x
∴y与x的解析式为：
y??13x?2423x（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种
情况.
① 当EF=AF时，如图（2）.
∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,
∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）, B在A’F上（A’F⊥EF）
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为 四边形EFBD的面积.
∵AE?OA?OE?OA?CD?42?5222252322?522
∴AF?AE?sin45S?AEF?120?1??
EF?AF?5225?()? 228∴S梯形AEDB?12(BD?AE)?DE?12?(2?522)?322?214
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