∴S四边形BDEF?S梯形AEDB-S?AEF?214-258?178（也可用S阴影?S?A'EF-S?A'BD）
②当EF=AE时，如图（3），
此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积. ∠DEF=∠EFA=45°， DE∥AB ， 又DB∥EA ∴四边形DEAB是平行四边形 ∴AE=DB=2
∴S?A'EF?S?AEF?122AE?EF
S?A/EF?12?(2)?1
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内. ∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3 ∴AE=AF=OA-OE=42?3 过F作FH⊥AE于H,则
FH?AF?sin45??42?3???22?4?322
?41????2-484∴S?A'EF?S?AEF?12AE?FH?12?4??322-3??4-?2??
综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为
178或1或
412-484
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16．（2010湖北省咸宁）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，?DAB?90?，AD?2DC?4，AB?6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当t?0.5时，求线段QM的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值； （3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究个定值；若不是，请说明理由．
D
E P C
D C
D C
CQRQ是否为定值，若是，试求这
Q
A l M B
（第24题）
A
（备用图1）
B
A
（备用图2）
B
【答案】解：（1）过点C作CF?AB于F，则四边形AFCD为矩形．
∴CF?4，AF?2．
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分 ∴即
QMAMQM0.5??CFAF42D E P C
．
Q A l M F
（第24题）
B
，∴QM?1．
（2）∵?DCA为锐角，故有两种情况：
①当?CPQ?90?时，点P与点E重合． 此时DE?CP?CD，即t?t?2，∴t?1． ②当?PQC?90?时，如备用图1， 此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴
EQPE?MAQMl
D P E C
Q
．
由（1）知，EQ?EM?QM?4?2t，
而PE?PC?CE?PC?(DC?DE)?t?(2?t)?2t?2， ∴
4?2t2t?2?12． ∴t?5353．
A
M B （备用图1）
综上所述，t?1或（3）
CQRQ．
为定值．
当t＞2时，如备用图2，
PA?DA?DP?4?(t?2)?6?t．
由（1）得，BF?AB?AF?4． ∴CF?BF． ∴QM?MB?6?t． ∴△CRQ∽△CAB．
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D P R C
Q
∴?CBF?45?． ∴QM?PA．
∴四边形AMQP为矩形． ∴PQ∥AB．
A
M F B
（备用图2）
∴
CQRQ?BCAB?CF?BFAB22?426?223．
17．（2010北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4．求∠B的度数及AC的长．
【答案】解法一：分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足．
∴∠AFB＝∠DGC＝90°． ∵AD∥BC，
∴四边形AFGD是矩形． ∴AF＝DG． ∵AB＝DC，
∴Rt△AFB≌Rt△DGC． ∴BF＝CG． ∵AD＝2，BC＝4， ∴BF＝1．
在Rt△AFB中，∵cosB＝∴∠B＝60°． ∵BF＝1． ∴AF＝3．
由勾股定理，得AC＝23． ∴∠B＝60°，AC＝23．
BFAB＝
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解法二：过A点作AE∥DC交BC于点E．
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∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形． ∴AD＝EC，AE＝DC． ∵AB＝DC＝AD＝2，BC＝4， ∴AE＝BE＝EC＝AB．
可证 △BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形． ∴∠BAC＝90°，∠B＝60°．
在Rt△ABC中，AC＝AB·tan60°＝23． ∴∠B＝60°，AC＝＝23．
18．（2010北京）问题:已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，
BD=BA，探究∠DBC与∠ABC度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． （1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图． 观察图形，AB与AC的数量关系为 ；
当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 ； 可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 ．
（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明． 【答案】解：（1）相等；15°；1:3．
(2)猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中的结论相同．
证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC，交CK于点K，连结DK. ∵∠BAC≠90°
∴四边形ABKC是等腰梯形． ∴CK=AB， ∵DC=DA， ∴∠DCA=∠DAC． ∵∠KCA=∠BAC，
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BCA∴∠KCD=∠3． ∵△KCD≌△BAD． ∴∠2=∠4，KD=BD， ∵BK∥AC， ∴∠ACB=∠6． ∵∠KCA=2∠ACB， ∴∠5=∠ACB， ∴∠5=∠6． ∴KC=KB， ∴KD=BD=KB． ∴∠KBD=60°．
∵∠ACB=∠6=60°－∠1， ∴ ∠BAC=2∠ACB=120°－2∠1．
∵∠1 +(60°－∠1) +(120°－2∠1)+ ∠2=180° ∴∠2=2∠1．
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．
19．（2010河南）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=42，∠C=450，点P是BC边上一动点，设PB长为x.
(1)当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形.
(2)当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行网边形.
(3)点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.
【答案】（1）3或8； （2）1或11；
（3）由（2）知，当BP = 11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形. ∴EP = AD = 5.
过D作DF⊥BC于F，则DF = FC = 4 ，∴ FP = 3. ∴ DP = FP?DF22?3?4?5.
22 ∴ EP = DP,故此时平行四边形PDAE是菱形. 即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形.
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