??ACB??EGB?90,?B公共
O∴△ACB∽△EGB ……………………7分 ∴ EGAC?BEAB4 即EG?t 故EG?t …………………8分
8105y?S?ABC?S?BEF
=
=
45(t?5212?6?8?212?10?2t??45t?452t?4t?24 ……………………9分
)?19 故当t=时，y的最小值为19 ………………10分
５２29．（2010 广西玉林、防城港）等腰梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，AD＝DC，AC ＝BD＝AB。 （1）若∠ABD＝?，求?的度数； （2）求证：OB2＝ OD?BD
【答案】（1）∵DC∥AB ∴∠BDC＝∠ABD 又ABCD是等腰梯形
∴∠BDC＝∠DBC ∴∠BDC＝∠ABD＝∠DBC 又AC＝BD＝AB ∴∠ABC＝∠ACB＝2?
又AD＝BC，AB＝AB AC＝BD ∴△ABD≌△BAC ∠BAC＝∠ABD 在三角形ABC中有：?＋2?＋2?＝180°，解得：?＝36° （2）∵∠COB＝2?＝＝∠BCO ∴OB＝BC＝CD
在△COD和△BCD中，∠BDC＝∠BDC ∠DCA＝∠CAB＝∠DBC＝? ∴△COD∽△BCD ∴ ∴OB2＝ OD?BD
30．（2010 湖北咸宁）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，?DAB?90?，AD?2DC?4，
CDOD?BDCD 又OB＝BC＝CD
M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
AB?6．动点
（1）当t?0.5时，求线段QM的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值； （3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究定值；若不是，请说明理由．
CQRQ是否为定值，若是，试求这个
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D
E P C
D C
D C
Q
A l M B
（第24题）
A （备用图1）
B
A （备用图2）
B
【答案】解：（1）过点C作CF?AB于F，则四边形AFCD为矩形． ∴CF?4，AF?2．
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分 ∴即
QMAMQM0.5??CFAF42D E
P C
．
Q A l M F （第24题）
B
，∴QM?1．……3分
（2）∵?DCA为锐角，故有两种情况： ①当?CPQ?90?时，点P与点E重合．
此时DE?CP?CD，即t?t?2，∴t?1．……5分 ②当?PQC?90?时，如备用图1， 此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴EQPE?MAQMl
D P E C
Q
．
由（1）知，EQ?EM?QM?4?2t，
而PE?PC?CE?PC?(DC?DE)?t?(2?t)?2t?2， ∴
4?2t2t?2?12． ∴t?5353．
A
M （备用图1）
B
综上所述，t?1或（3）
CQRQ．……8分（说明：未综述，不扣分）
为定值．……9分
当t＞2时，如备用图2，
PA?DA?DP?4?(t?2)?6?t．
由（1）得，BF?AB?AF?∴CF?BF． ∴QM?MB?6?t． ∴四边形AMQP为矩形． ∴△CRQ∽△CAB． ∴
CQRQ?BCAB?CF?BFAB224．
D P R C
Q
∴?CBF?45?．
∴QM?PA．
∴PQ∥AB．……11分
A
M B F
（备用图2）
?426?223．……12分
31．（2010鄂尔多斯）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交于点F。
（1）求证：BF=AD+CF。
（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长。
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【答案】（1）证法一： 如图（1），延长AD交FE的延长线于N
∵∠NDE=∠FCE=90° ∠DEN=∠FEC DE=EC
∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF
∵AB∥FN，AN∥BF
∴四边形ABFN是平行四边形 ∴BF=AD+DN=AD+FC （1） 解：∵AB∥FN
∴∠1=∠BEF ∵∠1=∠2
∴∠2=∠BEF
∴EF=BE ∴EF=AD+CF=（1）证法2：如图（2） 过D点作DN∥AB交BC于N ∵ADBN，AB∥DN ∴AD=BN ∵EF∥AB，∴DN∥EF ∴△CEF∽△CDN ∴
CEDCCECN1CF1??,∴∵ 即NF=CF
DC2CN2?CFAD?BC2?1?72?4
∴BF=BN+NF=AD+FC=4
BA?35。?COA?90°，32．（2010年山西）在直角梯形OABC中，CB//OA，CB=3，OA=6，
分别以OA、OC边所在直线为x轴，y轴建立如图1所示的平面直角坐标系。
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（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，
求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面 内是否存在另一个点N，
使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存
在，请说明理由。
【答案】解：（1）作BH?x轴于点H，则四边形OHBC为矩形，
?OH?CB?3…………（1分）
?AH?OA?OH?6?3?3.
2在Rt?ABH中，BH?BA2?AH2?(35)?32?6…………（2分）
?点B的坐标为（3，6）…………（3分） （2）作EG?x轴于点G，则EG//BH
??OEG∽?OBH…………（4分） OEOGEG??，又?OE?2EB ?OBOHBHOE22OGEG?，??? ?OB3336?OG?2.EG?4
?点E的坐标为（2，4）……（5分）
又?点D的坐标为（0，5） 设直线DE的解析式为y?kx?b
?2k?b?4,1则?解得k??,b?5.…………（7分）
2?b?5.
（3）答：存在…………（8分）
①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形，
作MP?y轴于点P，则MP//x轴，
??MPD∽?FOD
MPPDMD??又?当y?0时， ?OFODFD1?x?5?0,解得x?10 2，?OF=10。 ?F点的坐标为（10，0）在Rt?ODF中,FD??MP10?PD5?555OD2?OF2?5?1022?55
?MP?25,PD?5，?点M的坐标为(?25,5?第 39 页 共 46 页
5)
?点N的坐标为(?25,5)…………（10分）
②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM为菱形，延长NM交x轴于点P，则MP?x轴。
12
?点M在直线y??x?5上， a?5)
?设M点坐标为(a,?122在Rt?OPM中，OP2?PM2?OM2
?1?22?a???a?5??5
?2?解得a1?4,a2?0（舍去），?点M的坐标为（4，3）
?点N的坐标为（4，8）…………（12分）
③如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形，
连接NM，交OD于点P， 则NM与OD互相垂直平分，
?yM?yN?OP???12xM?5?52
2
?xM?5,?xN??xM??5.
5???点N的坐标为??5,?…………（14分）
2??
综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1(?25,5),N2(4,8),N3(?5,)
2533．（2010湖北宜昌）在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,E为AD中点。
（1）求证：△ABE≌△DCE
（2）若BE平分?ABC,且AD=10,求AB的长（7分）
AEDBC
【答案】（1）证明：?AD∥BC,AB?CD， ??BAE??CDE ····· 1分
又E为AD中点, ?AE?ED． ············· 2分
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