∴当0 如图3 ，t=OE=OC=2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边EF经过点C； 如图4，t=OE=OM=22，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边HG经过点O； 如图5，t=OE=42?2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边FG经过点C。 ∴（I）当0 （II）当2 由E（0，t），∠FFO=450，用用待定系数法求得直线EP的解析式为y=?x+t。 当x=2时，y=?2+t。∴CP=?2+t。∴S? （III）当22 时，矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为五边形 EQCUV的面积（如图8），它等于直角梯形EQCO的面积减去直角三角形VOU的的面积。 此时，OE= t，，OC=2，CQ= ?2+t，OU=OV= t－22。 ∴S?12?t?2+t??2?1?t?222?22?2=?12t+2+22?2t?6?。 综上所述，当0 ?12?2t?0 ???? 16 【考点】旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）由旋转的性质，得∠AOF＝1350，∴∠FOM＝450。 由旋转的性质，得∠OHM＝450，OH=OC=2，∴OM=22。 （2）①由矩形的性质和已知AD∥BO，可得四边形ABOD是平行四边形，从而DO=AB=2。又由△DOI是等腰直角三角形可得OI=OD=2。从而由平移的性质可求得t=IM=OM－OI=22－2。 ②首先确定当0 三种情况求出S与t之间的函数关系式。 5. （2012江苏宿迁12分）(1)如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE= 12∠ABC(0°＜∠CBE＜ 12∠ABC)。以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC，得 到△BE’A（点C与点A重合，点E到点E’处），连接DE’。求证：DE’=DE. （2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点， 且满足∠DBE= 12∠ABC(0°＜∠CBE＜45°).求证：DE2=AD2+EC2.[来 :学#科#网] 17 【答案】证明：（1）∵△BE’A是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到， ∴BE’=BE，∠E’BA=∠EBC。 ∵∠DBE= 12∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC = 1212∠ABC。 12 ∴∠ABD＋∠E’BA =∠ABC，即∠E’BD=∠ABC。∴∠E’BD=∠DBE。 在△E’BD和△EBD中，∵BE’=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD， ∴△E’BD≌△EBD（SAS）。∴DE’=DE。 （2）以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转 ∠ABC=90°，得到△BE’A（点C与点A重合，点E到点E’处），连接DE’。 由（1）知DE’=DE。 由旋转的性质，知E’A=EC，∠E’ AB=∠ECB。 又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°。 ∴∠E’ AD=∠E’ AB＋∠BAC=90°。 在Rt△DE’A中，DE’2=AD2+E’A2，∴DE2=AD2+EC2。 【考点】旋转的性质，等腰（直角）三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）由旋转的性质易得BE’=BE，∠E’BA=∠EBC，由已知∠DBE=∠E’BD=∠DBE，从而可由SAS得△E’BD≌△EBD，得到DE’=DE。 （2）由（1）的启示，作如（1）的辅助图形，即可得到直角三角形DE’A，根据勾股定理即可证 得结论。 6. （2012四川乐山12分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立． （1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G． ①求证：BD⊥CF； ②当AB=4，AD=2时，求线段BG的长． 12∠ABC经等量代换可得 18 【答案】解：（1）BD=CF成立。理由如下： ∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形， ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°。 ∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。 在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF， ∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。 （2）①证明：设BG交AC于点M． ∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM。 又∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG。 ∴∠BGC=∠BAC=90°。∴BD⊥CF。 ②过点F作FN⊥AC于点N。 ∵在正方形ADEF中，AD=DE=2， ∴AE?AD+DE1222?2+222?2。 ∴AN=FN=AE=1。 AB+AC22BC?∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3， ?4+422?42。 ∴在Rt△FCN中，tan?FCN?FNCN?13。 AMAB?13在Rt△ABM中，tan?FCN?tan?ABM?∴AM=AB?3143。 。 4383?4?4+???3?22∴CM=AC﹣AM=4﹣ ?，BM?AB+AM22??4103。 4108?3CG∵△BMA∽△CMG，∴ BMBA?CMCG，即 34，∴CG=4105。 19 ∴在Rt△BGC中，BG?BC2?CG2??42?2?410???5?????2?8105。 【考点】等腰直角三角形和正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理。 【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF。 （2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG， 根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF。 ②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN 的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM=AB?3143。然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的长， 再由勾股定理即可求得线段BG的长。 7. （2012四川广安10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB= 34， 将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2． （1）求抛物线的解析式． （2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标． （3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为标；若不存在，请说明理由． 222 ？若存在，求出点Q的坐 【答案】解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB= 34，∴OB=4。 ∴B（﹣4，0），B1（0，﹣4），A2（3，0）。 ∵抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2， 2 20