（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
【答案】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，
∴∠CC1B=∠C1CB=45°。
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°。 （2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，
∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1。 ∴
BABC?BA1BC1，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1。∴∠ABA1=∠CBC1。
22∴△ABA1∽△CBC1。∴
S?ABAS?CBC25411?AB?????CB??4?????5??1625。
∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=
。
（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上。 在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=522。
①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B
旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小。
最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=522﹣2。
②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，
使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大。 最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7。
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【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数。
（2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积。
（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值。
11. （2012湖南怀化10分）如图1，四边形ABCD是边长为32的正方形，长方形AEFG的宽AE?长EF?72372,
．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH (如图2)，这时BD与MN相交
于点O．
（1）求?DOM的度数；
（2）在图2中，求D、N两点间的距离；
（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的 内部、外部、还是边上？并说明理由．
图1 图2
【答案】解：（1）如图，设AB与MN相交于点K，根据题意得：∠BAM=15°，
∵四边形AMNH是矩形，∴∠M=90°。∴∠AKM=90°－∠BAM=75°。 ∴∠BKO=∠AKM=75°。，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=45°。 ∴∠DOM=∠BKO+?ABD=75°+45°=120°。 （2）连接AN，交BD于I，连接DN，
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∵NH=AE?72，AH=EF?NHAH?33723，∠H=90°，
∴tan?HAN?。∴∠HAN=30°。
∴AN=2NH=7。
由旋转的性质：∠DAH=15°，∴∠DAN=45°。 ∵∠DAC=45°，∴A，C，N共线。 ∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC。 ∵AD=CD=32，∴DI?AI?∴NI=AN－AI=7－3=4。 在Rt△DIN中，DN?DI?NI2212 AC?12 AB?CD22?3。
?3?422?5。
（3）点B在矩形ARTZ的外部。理由如下：
如图，根据题意得：∠BAR=15°+15°=30°。 ∵∠R=90°，AR=
727，
∴AK?ARcos30??2=73332。
∵32?733=92?733=162?3147>0，∴AB=32 ＞733。
∴点B在矩形ARTZ的外部。
【考点】旋转的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，实数的大小比较。
【分析】（1）由旋转的性质，可得∠BAM=15°，即可得∠OKB=∠AOM=75°，又由正方形的性质，可得∠ABD=45°，然后利用外角的性质，即可求得∠DOM的度数。
（2）首先连接AM，交BD于I，连接DN，由特殊角的三角函数值，求得∠HAN=30°，又由旋
转的性质，即可求得∠DAN=45°，即可证得A，C，N共线，然后由股定理求得答案。
（3）在Rt△ARK中，利用三角函数即可求得AK的值，与AB比较大小，即可确定B的位置。
12. （2012福建泉州14分）如图，点O为坐标原点，直线l绕着点A（0,2）旋转，与经过点C（0,1）的二次函数y?14x2?h交于不同的两点P、Q.
（1）求h的值；
（2）通过操作、观察算出△POQ面积的最小值（不必说理）；
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（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中四边形AOBQ是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状.
【答案】解：（1）∵二次函数y? ∴h=1。
（2）操作、观察可知当直线l∥x轴时，其面积最小； 将y=2带入二次函数y? ∴ S最小=（2×4）÷2=4。
（3）连接BQ，若l与x轴不平行（如图），即PQ与x轴不平行，
依题意，设抛物线y?114x214x2?h的图象经过C（0,1），
14x2?1中，得x??2，
?1上的点
P（a，a2?1）、Q（b，b2?1）（a＜0＜b）。
441直线BC：y=k1x+1过点P， ∴a2?1=ak1+1，得k1=a。
4411∴直线BC：y=ax+1
41令y=0得：xB=?4a
过点A的直线l：y=k2x+2经过点P、Q，
∴a2?1?ak2?2?①，b2?1=bk2?2?②。
4411①×b-②×a得：（a2b?b2a）?b?a?2（b?a），化简得：b=?414a。
∴点B与Q的横坐标相同。∴BQ∥y轴，即BQ∥OA。 又∵AQ与OB不平行，∴四边形AOBQ是梯形。 根据抛物线的对称性可得（a＞0＞b）结论相同。
若l与x轴平行，由OA=2，BQ=2，OB=2，AQ=2，且∠AOB=900，得四边形AOBQ是
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正方形。
故在直线l旋转的过程中：当l与x轴不平行时，四边形AOBQ是梯形；当l与x轴平行
时，四边形AOBQ是正方形。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，旋转的性质，二次函数的性质，一次函数的运用，梯形和正方形的判定。
【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标特征，利用待定系数法求得h的值。
（2）操作、观察可得结论。实际上，由P（a，a2?1）、Q（b，b2?1）（a＜0＜b），可求得
4411b=?4a（参见（3））。
12???OA?|??a|?（?）?（?a）=??2aa?1444a??a?+4??2∴S?POQ?OA?xQ?xP??
∴当?4a=?a即|a|=|b|（P、Q关于y轴对称）时，△POQ的面积最小。
即PQ∥x轴时，△POQ的面积最小，且POQ的面积最小为4。
（3）判断四边形AOBQ的形状，可从四个顶点的坐标特征上来判断．首先设出P、Q的坐标，
然后根据点P、C求出直线BC的解析式，从而表示出点B的坐标，然后再通过直线PQ以及P、A、Q三点坐标，求出Q、B两点坐标之间的关联，从而判断该四边形是否符合梯形的特征。
13. （2012辽宁丹东12分）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于 点M．
（1）如图1，若AB=AC，AD=AE
①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由； ②求∠BMC的大小（用α表示）； （2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE
则线段BD与CE的数量关系为 ，∠BMC= （用α表示）；
（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺 规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）．
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