双曲线专题复习讲义
★知识梳理★
1. 双曲线的定义
（1）第一定义：当||PF1|?|PF2||?2a?|F1F2|时, P的轨迹为双曲线; 当||PF1|?|PF2||?2a?|F1F2|时, P的轨迹不存在; 当|PF1?PF2|?2a?F1F2时, P的轨迹为以F1、F2为端点的两条射线
（2）双曲线的第二义
平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(e?1)的点的轨迹为双曲线
2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程 xa22?yb22?1(a,b?0) ya22?xb22?1(a,b?0) 性 质 焦点 焦距 范围 顶点 对称性 离心率 准线 (c,0),(?c,0)， (0,c),(0,?c) 2c |x|?a,y?R (a,0),(?a,0) |y|?a,x?R (0,?a),(0,a) 关于x轴、y轴和原点对称 e?ca?(1,??) x??渐近线 aba2c y??y??aab2c y??2222x x 与双曲线
xaxa?ybyb?1共渐近线的双曲线系方程为：
xa22?yb22??(??0)
2222与双曲线??1共轭的双曲线为
yb22?xa22?1
等轴双曲线x2?y2??a2的渐近线方程为y??x ，离心率为e?2.；
★重难点突破★
1.注意定义中“陷阱”
问题1：已知F1(?5,0),F2(5,0)，一曲线上的动点P到F1,F2距离之差为6，则双曲线的方程为
点拨：一要注意是否满足2a?|F1F2|，二要注意是一支还是两支
?|PF1|?|PF2|?6?10 ，
P的轨迹是双曲线的右支.其方程为
x29?y216?1(x?0)
2.注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为y??ba32x，则离心率为
点拨：当焦点在x轴上时，?32，e?132；当焦点在y轴上时，
ab?32，e?133
★热点考点题型探析★
考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义
[例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020） 设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
xa22?yb22?1上，
P y C 依题意得a=680, c=1020，
?b2A O B x ?c?a22?1020x222?680?y22?5?34022
?1故双曲线方程为6805?340用y=－x代入上式，得x??680?x??6805,y?6805，∵|PB|>|PA|,
5,6805),故PO?68010
5,即P(?6800
答：巨响发生在接报中心的西偏北45距中心68010m处.
【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.设P为双曲线x?22y12则△PF1F2的面积为
?1上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，
（ ）
A．63 B．12 C．123 D．24
解析：a?1,b?12,c? 13,由|PF1|:|PF2|?3:2 ①
又|PF1|?|PF2|?2a?2,② 由①、②解得|PF1|?6,|PF2|?4.
?|PF1|?|PF2|?52,|F1F2|?52,
222?PF1F2为直角三角形，
?S?PF1F2?12|PF1|?|PF2|?12?6?4?12.故选B。
2.如图2所示，F为双曲线C:??1的左
916焦点，双曲线C上的点Pi与P7?i?i?1,2,3?关于y轴对称，
x2y2则P1F?P2F?P3F?P4F?P5F?P6F的值是（ ） A．9 B．16 C．18 D．27
[解析] P1F?P6F?P2F?P5F?P3F?P4F?6，选C
xa223. P是双曲线?yb22?1(a?0,b?0)左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距
为2c，则?PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A）?a
（B）?b
（C）?c
（D）a?b?c
［解析］设?PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为x0，
由圆的切线性质知，PF2?PF1?|c?x0|?|x0?(?c)|?2a?x0??a
题型2 求双曲线的标准方程 [例2 ] 已知双曲线C与双曲线
x216－
y24=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C
的方程．
【解题思路】运用方程思想，列关于a,b,c的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为
xa22－
yb22=1.由题意易求c=25.
又双曲线过点（32，2），∴
(32)a22－
4b2=1.
又∵a2+b2=（25）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为
x2－
x2y2=1. －
y212816?k4?k解法二：设双曲线方程为＝1，
x2将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－
y2＝1.
128【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用. 【新题导练】
4.已知双曲线的渐近线方程是y??为 ；
[解析]设双曲线方程为x2?4y2??， 当??0时，化为
x2x2，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程
??y2?4?1，?25?4?10???20，
当??0时，化为
y?2?4?y2???1，?2?5?4?10????20，
综上，双曲线方程为
x220?y25?1或
y25?x220?1
3y?0的双曲线方程为
225.以抛物线y2?83x的焦点F为右焦点,且两条渐近线是x?___________________.
[解析] 抛物线y2?83x的焦点F为(23,0)，设双曲线方程为x?3y??，
?4?3?(23)???9，双曲线方程为
2x29?y23?1
6.已知点M(?3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为 A．x?2y28y2?1(x??1) B．x?2y28y2?1(x?1)
C．x?28?1（x > 0） D．x?210?1(x?1)
[解析]PM?PN?BM?BN?2，P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B
考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围
ab线的右支上，且|PF1|?4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为 ．
[例3] 已知双曲线
x22?y22?1,(a?0,b?0)的左，右焦点分别为F1,F2，点P在双曲
【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决
[解析](方法1)由定义知|PF1|?|PF2|?2a，又已知|PF1|?4|PF2|，解得PF1?648398a，
PF2?23a，在?PF1F2中，由余弦定理，得cos?F1PF2?9a?2?83249a2?4ca2a?23?178?2e，
要求e的最大值，即求cos?F1PF2的最小值，当cos?F1PF2??1时，解得e?最大值为
5353．即e的
．
|PF1||PF2|?2a?|PF2||PF2|?1?2a|PF2|?1?2ac?a2ac?a(方法2) ? ，
?4,?e?53双曲线上存在一点P使|PF1|?4|PF2|，等价于1?
(方法3)设P(x,y)，由焦半径公式得PF1?ex?a,PF2?ex?a，∵PF1?4PF2，∴(ex?a)?4(ex?a)，∴e?5a3x33【名师指引】（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；
|PF1|（2）点P在变化过程中，的范围变化值得探究；
|PF2|，∵x?a，∴e?5，∴e的最大值为
5．
（3）运用不等式知识转化为a,b,c的齐次式是关键 【新题导练】
x27.已知双曲线
m?y2n?1的一条渐近线方程为y?43x，则该双曲线的离心率e为 ． [解析]当m?0,n?0时，
e?2mn?9162，e?m?nm?259，当m?0,n?0时，
mn?169，
m?nn?2516，?e?2253或
54
8. 已知双曲线
xa?yb22?1(a?0,b?0)的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两
渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e是（ ）
A．
5?1 B．2 C．5?1或2 D．不存在
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