[解析]设双曲线的左准线与x轴交于点D,则AD??e?2
abc，ED?a?a2c，?a?a2c?3?abc，
题型2 与渐近线有关的问题 [例4]若双曲线
xa22?yb22?1(a?0,b?0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的
离心率为 （ ）
A.2 B.3 C.5
【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a,b,c的关系 [解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故b?2a，e?2D.2
ca22?1?ba22?5,所以e?5
【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过a,b,c的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程 【新题导练】 9. 双曲线
x24?y2329?1的渐近线方程是 ( )
49x
A. y??[解析]选C
x B. y?? C. y??32x D. y??94x
10.焦点为（0，6），且与双曲线
A．
x2x22?x?y22?1有相同的渐近线的双曲线方程是
y2 （ ）
y212?y224?1 B．
y21224?1 C．
24?x212?1 D．
x224?12?1
[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B 基础巩固训练 1. 以椭圆
x2169?y2144?1的右焦点为圆心，且与双曲线
x29?y216?1的渐近线相切的圆的方
程是 （A）x?y?10x?9?0 （B）x?y?10x?9?0 （C）x?y?10x?9?0 （D）x?y?10x?9?0 [解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b，选A
2.已知双曲线的两个焦点为F1(?10,0)、F2(10,0)，M是此双曲线上的一点，且满足
????????????????????MF1?MF2?0，|MF1|?|MF2|?2，则该双曲线的方程是
22222222（ ）
x2A．
x29?y?1 B．x?22y29?1 C．
2x2322?y27?1 D．
72?y23?1
??????????|MF|?|MF2|?2和PF1 [解析]由 1?PF?40得|PF1?PF|?6，选A
3.两个正数a、b的等差中项是离心率为( )
A．
5392，一个等比中项是25，且a?b,则双曲线
xa22?yb22?1的
B．
414 C．
54 D．415
[解析] a?5,b?4?c?41，选D
224.设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足PF1?PF2?0，则A．
12e1?e2(e1e2)2的值为( C ) D．不确定
B．1 C．2
[解析] C. 设|PF1|?|PF2|?2a，|PF1|?|PF2|?2m， ?|PF1|?a?m，|PF2|?a?m，
(a?m)?(a?m)?4c?a?m?2c?2222221e12?1e22?2
5.已知F1，F2分别是双曲线
?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的2ab直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
x2y2(A).(1?b22,??) (B).(1,1?2) (C).(1,3) (D).(3,22)
222[解析] a?1?c?a?2ac?e?2e?1?0?e?1?2c2，选B
6.曲线
x210?m?y26?m?1(m?6)与曲线
x25?n?y29?n?1(5?n?9)的 （ ）
A．焦距相等 B．焦点相同 C．离心率相等 D．以上都不对
x2[解析] 方程
2210?m?y26?m?1(m?6)的曲线为焦点在x轴的椭圆，方程
x5?n?y9?n?1(5?n?9)的曲线为焦点在y轴的双曲线，
?(10?m)?(6?m)?(9?n)?(n?5)，故选A
综合提高训练 7. 已知椭圆
x222m3n3m5n线方程（2）直线l过焦点且垂直于x轴，若直线l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为3，求双曲线的方程 4?y22?1和双曲线
x22?y22?1有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近
[解析]（1）依题意，有3m?5n?2m?3n，即m?8n，即双曲线方程为
222222x2216n?y223n?1，故双曲线的渐近线方程是
34x2216n?y223n?0，即y??3c234． x，
（2）设渐近线y??S?OAB?12c?3c2?x与直线l:x?c交于A、B，则|AB|?ba?34，
1619,b?2342，解得c?1即a2?b2?1，又?19y3xa222，?a2?319
双曲线的方程为
19x16?1 yb228.已知F1,F2是双曲线
??1的左，右焦点,点P?x,y?是双曲线右支上的一个动点,
43且PF1的最小值为8,双曲线的一条渐近线方程为y?[解析]?PF1x. 求双曲线的方程;
?ex?a?ea?a?a?c，当且仅当x?a时取等号,
?PF1的最小值为c?a.?c?a?8①.?双曲线xa22?yb22?1的一条渐进线方程为
y?43x?ba?43 ②，又?c2?a2?b2 ③
x2由①②③得a?3,b?4,c?5,所以所求双曲线方程为9?y216?1
9.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为?2,0?，右顶点为（Ⅰ）求双曲线C的方程 （Ⅱ）若直线l:y?kx??3,0.
?????????2与双曲线恒有两个不同的交点A和B且OA?OB?2（其中O为原点），求k的取值范围 解（1）设双曲线方程为
xa22?yb22?1
由已知得a?3,c?2，再由a?b?2，得b?1
2222故双曲线C的方程为
x23?y?1.
2（2）将y?kx?2代入x23?y?1得(1?3k)x?62kx?9?0
222?1?3k2?0? 由直线l与双曲线交与不同的两点得???62k????2?36(1?3)?36(1?k)?022
即k2?13且k2?1. ① 设A?xA,yA?,B(xA,yB),，则
621?3k2xA?yB?,xAyB??91?3k2????????，由OA?OB?2得xAxB?yAyB?2，
2)(kxb?2而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA??91?3k22)?(k?1)xAxB?22k(xA?xB)?2
?(k?1)2?22k62k1?3k22?2?3k?73k?12.
于是
3k?73k?11322?2，即
2?3k?93k?12?0解此不等式得
13?k?3. ②
2由①+②得?k?1
故的取值范围为(?1,?参考例题：
?3?)??,1? ??3?3?3xy已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点为F1,F2，点P是双曲线C上的一点，
ab22PF1?PF2?0，且PF1?2PF2．
（1）求双曲线的离心率e；
????????27（2）过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1,P2两点，若OP1?OP2??，
4?????????2PP1?PP2?0，求双曲线C的方程．
（1）设PF2?r，则PF1?2r，∵PF1?PF2，∴F1F2?∴e?ca?2c2a?F1F2PF1?PF2?5．
22PF1?PF2?5r，
（2）由（1）知e?5，故
ba?e?1?2，从而双曲线的渐近线方程为y??2x，
2依题意，可设P(x,y),P1(x1,2x1),P2(x2,?2x2)， 由OP1?OP2?x1x2?4x1x2??274，得x1x2?94． ①
2x1?x2?x???2x1?x2?3x?0?3由2PP1?PP2?0，得?，解得?．
?4x1?2x2?3y?0?y?4x1?2x2?3?∵点P(x,y)在双曲线
xa22?yb22?1上，∴
982(2x1?x2)9a22?(4x1?2x2)9b22?1，
又b?2a，上式化简得x1x2? a． ②
x2由①②，得a?2，从而得b?22．故双曲线C的方程为
2?y28?1．
双曲线专题练习一
一、填空题 1．椭圆
x29y?2yk?22?1与双曲线
x2x2k?y23?1的焦点相同，则k= 。
2．双曲线
94?1的渐近线为 两渐近线夹角为 。
3．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，A为它的短轴的一个端点，若该椭圆的长轴长为4，则
△AF1F2面积的最大值为 ．
4．过点（-6，3）且和双曲线x-2y=2有相同的渐近线的双曲线方程为 。 5．过原点与双曲线
x22
2
4?y23??1交于两点的直线斜率的取值范围是
6、若双曲线8kx2?ky2?8的一个焦点是（0，3），则k的值是 。 7. 已知直线y=kx-1与双曲线x2?y2?1,试列出实数
k需满足的不等式组,使直线与双曲线交同支于两点， 。 8．点P是双曲线
x24?y23?1上一点，F1、F2是双曲线焦点，若?F1PF2=120o，
则?F1PF2的面积 。
9．过点Ｍ（－２，０）的直线L与椭圆x2＋2y2＝2交于Ｐ１、Ｐ２两点，线段Ｐ１Ｐ２的中
点为Ｐ，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线ＯＰ的斜率为k2，则k1k2的值为______. 10．若对任意k?R，直线y?k(x?2)?b与双曲线x2?y2?1总有公共点，则b范围 。 11．若方程x+k-1?x=0只有一个解，则实数k的取值范围是______________。 12．给出问题：F1、F2是双曲线
x221620距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确， 将正确的结果填在下面空格内. 。 二、选择题
13.平面内有定点A、B及动点P，设命题甲是“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是 “点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
?y2=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的