14. 经过双曲线x?2y22则这样的直线存在的条数为 （ ） （A）４； （B）3； （C）2； （D）１
15．双曲线与其共轭双曲线有 （ ） A．相同的焦点 B. 相同的渐近线 C.相等的实轴长 D. 相等的虚轴长
?1的右焦点F2作直线l交双曲线与A、B两点，若|AB|=4,
16．过点P(3,4)与双曲线c:x2916A．4 B. 3 C.2 D. 1 三、解答题
17．已知动圆与圆C1:(x+5)2+y2=49和圆C2：(x-5)2+y2=1都外切， （1）求动圆圆心P的轨迹方程。
（2）若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是 。
若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是 。 若把圆C1的半径改为1，那么动圆P的轨迹是 。
（只需写出图形形状）
?y2?1只有一个交点的直线的条数为 （ ）
18．已知直线y?ax?1与双曲线3x2?y2?1交于A、B点。
（1）求a的取值范围；（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；
（3）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y?请求出a的值；若不存在，说明理由。 解：
x19．(1)椭圆C:a?2212x对称？若存在，
yb22?1(a＞b＞0)上的点A(1,2)到两焦点的距离之和为4,
3求椭圆的方程;
(2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点,
当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么kPM?kPN是与点P位置无关的
x定值。试对双曲线 a?22yb22?1写出具有类似特性的性质，并加以证明。
：
2220. 已知双曲线方程为2x?y?2,
（1）求过点P（1，2）的直线l的斜率k的取值范围，使直线与双曲线
有一个交点，两个交点，没有交点。
(2) 过点P（1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，
求直线AB的方程；
（3）是否存在直线l，使Q（1，1）为l被双曲线所截弦的中点？若存在，
求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
21、已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=
213的双曲线过点P(6，6) (1)求
双曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论
22．已知双曲线x?2y22?1,问过点A（1，1）能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q两点，
并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。
一、填空题
1． k= 2 。2． arccos?1?k2?0?6、-1 。7. ???0?xx?0?12513。 3．2． 4．
x182?y29?1 5(??,?32)?(32,??).
。8．3。 9． ?12. 10．[?3,3] 11． [-1，1）?{2}
12． |PF2|=17。 二、选择题
13. ( B )14 （ B ）15．（ B ）16C
三、解答题
17．已知动圆与圆C1:(x+5)2+y2=49和圆C2：(x-5)2+y2=1都外切， （1）求动圆圆心P的轨迹方程。
解：（1）从已知条件可以确定圆C1、C2的圆心与半径。 两圆外切可得：两圆半径和＝圆心距
动圆半径r,依题意有 7＋r＝|PC1|,1＋r＝|PC2|，
-5 两式相减得：|PC1|－|PC2|＝6 ＜|C1C2|。
由双曲线定义得：点P的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支。 x2Y ? O 2 5 X 9?y216?1（x≥3）
（2）若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是 （双曲线右支） 若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是 （双曲线左支） 若把圆C1的半径改为1，那么动圆P的轨迹是 。（两定圆连心线的垂直平分线）
18．已知直线y?ax?1与双曲线3x2?y2?1交于A、B点。 （1）求a的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值； （3）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y?请求出a的值；若不存在，说明理由。
?y?ax?122(3?a)x?2ax?2?0（1） 解：（1）由?2消去，得y2?3x?y?1?3?a2?0依题意?即???0?6?a?6且a??3（2）
12x对称？若存在，
2a?x?x?(3)122??3?a（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则?
?2?xx?(4)122?3?a?∵ 以AB为直径的圆过原点 ∴ OA?OB ∴ x1x2?y1y2?0 但y1y2?a2x1x2?a(x1?x2)?1 由（3）（4），x1?x2?22a3?a2，x1x2??23?a2
∴ (a?1)??23?a2?a?2a3?a2?1?0 解得a??1且满足（2）
1212（3）假设存在实数a，使A、B关于y?∴ a?12x对称，则直线y?ax?1与y?x垂直
??1，即a??2 直线l的方程为y??2x?1
将a??2代入（3）得x1?x2?4
∴ AB中点的横坐标为2 纵坐标为y??2?2?1??3 但AB中点(2,?3)不在直线y?19．(1)椭圆C:
xa2212x上，即不存在实数a，使A、B关于直线y?312x对称。
?yb22?1(a＞b＞0)上的点A(1,2)到两焦点的距离之和为4,
求椭圆的方程;
(2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点,
当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么kPMx定值。试对双曲线 a?22?kPN是与点P位置无关的
yb22?1写出具有类似特性的性质，并加以证明。
解：(1)
x42?y23?1
x42 (2)设中点为(x,y), F1(-1,0) K(-2-x,-y)在?y23?1上 ?
(x?2)42?y23?1
(3)设M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1
则 yo?b(a?1) y1?b(a?1)
2222x1222x12kPM?kPN?为定值.
22y0?y1x0?x1?y0?y1x0?x1?y0?y12x0222?x1?b222?x01(2a22x0?x1x)?ba22
20. 已知双曲线方程为2x?y?2与点P(1,2),
（1）求过点P（1，2）的直线l的斜率k的取值范围，使直线与双曲线
有一个交点，两个交点，没有交点。 (2) 过点P（1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，
求直线AB的方程；
（3）是否存在直线l，使Q（1，1）为l被双曲线所截弦的中点？若存在，
求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率
存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*) (ⅰ)当2－k=0,即k=±2时，方程()有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k≠0,即k≠±2时
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=②当Δ＞0,即k＜
323222
*
时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.
32,又k≠±2,故当k＜－2或－2＜k＜2或2＜k＜时，
方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.
③当Δ＜0，即k＞
32时，方程()无解，l与C无交点.
32*
综上知：当k=±2,或k=当2＜k＜当k＞
3232，或k不存在时，l与C只有一个交点；
,或－2＜k＜2,或k＜－2时，l与C有两个交点；
时，l与C没有交点.
（2）假设以P为中点的弦为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=4 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB=
y1?y2x1?x2=1
但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为：y?x?1. (3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x1－y1=2,2x2－y2=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB=
y1?y2x1?x22
2
2
2
=2
但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.
21已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=
213的双曲线过点P(6，6) (1)求双
曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否
存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论
解 (1)如图，设双曲线方程为
xa22?ybx22=1 由已知得
6a22?6b22?1,e?2a?ba222?213,解得
yNPa=9,b=12 所以所求双曲线方程为
22
29?y212=1
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2） 假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有
A1MoGA2x22?x1?x2?4?y?y21244?12x1?9y1?108,??1??，∴kl=∴l的方程为 ?223x1?x293?y1?y2?4??12x2?9y2?108?12x2?9y2?1084?y= (x－2)+2,由?,消去y,整理得x2－4x+28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所43?y?(x?2)3?求直线l不存在
22． 已知双曲线x?2y22?1,问过点A（1，1）能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q
两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。 错解 设符合题意的直线l存在，并设P(x1,x2)、Q(x2,y2)
2?2y1?1(1)?x1??2?2y2?2x2??1(2)?2? 则 （1）?(2)得
(x1?x2)(x1?x2)
?x1?x2?2(4)?(y1?y2)(y1?y2)(3) 因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以? 2y?y?2(5)2?11将(4)、(5)代入（3）得 x1?x2?12(y1?y2)
若x1?x2，则直线l的斜率 k?y1?y2x1?x2?2 所以符合题设条件的直线l存在。
其方程为2x?y?1?0 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由
?y?2x?1?22 得2x?4x?3?0 根据???8?0,说明所求直线不存在。 ?2y?1?x?2?