所以tan2?PAF?2tan?PAF1?tan2?PAF?2kPA1?k2PA?2(x1?1)y1(x1?1)?y221
因为x?21y132?1
所以y12?3(x12?1)?3(x1?1)(x1?1) 将其代入上式并化简得tan2?PAF?2y1(x1?1)?3(x1?1)??y1x1?2y1x1?2
因为?PFA??PFx?180?，所以tan?PFA??kPF??
即tan2?PAF?tan?PFA
??2????)，?PAF?(0,)?(,) 因为?PFA?(0,)?(,223443所以2?PFA?(0,?2)?(?2,2?3)
所以?PFA?2?PAF恒成立
综合以上两种思路，得存在常数??2，使得双曲线C在第一象限内的任意一点P，使
?PFA?2?PAF恒成立。
11. 解：（1）由题意，设双曲线的方程为?a2?6?c2?2由已知? 解得a?a?c?3?c?xa22?yb22?1(a?0,b?0)
3,c?3
所以双曲线的方程为
x23?y26?1
离心率e?3
（2）由（1）知A（1，0），F（3，0）
当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x?3 此时，AP?AQ?0，应舍去
当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y?k(x?3)
2?x2y??1?由方程组?3 6?y?k(x?3)?得(k2?2)x2?6k2x?9k2?6?0
由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则k2?2?0，即k??2 由于??36k4?4(k2?2)(9k2?6)?48(k2?1)?0，即k?R ∴ k?R且k??2（*） 设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则
2?6k?1??x1?x2?2?k?2 ?2?xx?9k?6?2?122?k?2?由直线PQ的方程得y1?k(x1?3)，y2?k(x2?3)
于是y1y2?k2(x1?3)(x2?3)?k2[x1x2?3(x1?x2)?9] <3> ∵ AP?AQ?0 ∴ (x1?1,y1)?(x2?1,y2)?0 即x1x2?(x1?x2)?1?y1y2?0 <4> 由<1><2><3><4>得 9kk2?6?22?6kk22?2?1?k(29kk2?6?222?3?6kk22?2?9)?0
整理得k2?12 ∴ k??2[满足（*）]
2y?3?0
∴ 直线PQ的方程为x?2y?3?0或x?
12、已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线x?2y22?1于A、B两点，且ON?12(OA?OB)（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且CD?AB?0，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？ 解
：（
21
2）设直线
2AB：
y?k(x?1)?2代入
x?2y22?1得
(2?k)x?2k(2?k)x?(2?k)?2?0 （＊）
令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 ∴ 2?k2?0 且
x1?x2?2k(2?k)2?k2
∵ ON?12(OA?OB) ∴ N是AB的中点 ∴
x1?x22?1
∴ k(2?k)??k2?2 k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1
（2）将k = 1代入方程（＊）得x2?2x?3?0 x??1或x?3 由y?x?1得y1?0， ∴ A(?1,0)，B(3,4)∵ CD?AB?0 ∴ CD垂直平分AB
∴ CD所在直线方程为
y??(x?1)?2即y?3?x代入双曲线方程整理得x2?6x?11?0 令C(x3,y3)，
D(x4,y4)y0?6x3?x42y2?4
及CD中点M(x0,y0)则x3?x4??6，x3?x4??11， ∴x0???3，
12|CD|?210 |CD| =410，|MC|?|MD|? |MA|?|MB|?210，即A、B、C、
D到M距离相等
∴ A、B、C、D四点共圆
13、如图，点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴于点Q，点P是l上的一点，已知|PQ|?|FQ|?1，且线段PF的中点M在双曲线C的左支上.
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）若过点F的直线m与双曲线C的左右
MlPyQ两支分别交于A、B两点，设FB??FA，当
??[6,??)时，求直线m的斜率k的取值范围.
FAOxBm
解法一：（Ⅰ）设双曲线方程为
（
，
），
则，，∴．
又在双曲线上，∴．
联立①②③，解得
注：对点M用第二定义，得（Ⅱ）
，设
，．∴双曲线方程为，可简化计算．
．
，，m：，则
由，得，．由，得．
∴由
，
，
，
．
，消去
，
，
．
得∴
，∴
．∵
．
，函数在上单调递增，
又直线m与双曲线的两支相交，即方程∴
解法二（Ⅰ）设所求双曲线为：
xa22两根同号，
．
． ∴，故
?yb22；左准线：x???1.其左焦点为F（-c。0）
a2c.
由|PQ|?1，得P（?a2c，1）；由|FQ|?1?c?a2c2?1?b2c2?1?b?c.?1?2
?c?a?1?c?a1?,?.代入双曲线方程：FP的中点为M????1 22c2?4ca4c?222??c?a22?2?ac?4ca??c?a22222?2?ac?b?ac242?2?
22 根据（1）与（2）c?a?b,?c?22a2c?1?2.所求双曲线方程为x?y?2.
（Ⅱ）设直线m的参数方程为：???x??2?tcos?y?tsin?.代入x2?y2?2得：
??2?tcos????tsin???2?t2cos2??4tcos??2?0?3?
22当cos2??0时，???16cos??8?2cos??1??8?0，方程（3）总有相异二实根，
4cos??t?t?12??cos2?设为t1，t2.那么?2?t?t?12?cos2???4?.
????????已知直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，∴FB与FA同向，
????222?t1?t2?t2t1t2?t11FBt2??????2 故??????0，.于是：????tttttttFA1212121注意到??1?在??[6,??)上是增函数，??t1?t2?t1t22?2?6?16??t1?t2?t1t22?496?5?
4ocs（4）代入（5）：6??cs2?o29???4??ocs22??2?48?ocs492ocs??125cs?0o2?49???2??
?sec??25049?tan??149?k?17或k??17
∵双曲线x2?y2?2的渐近线斜率为?1，故直线m与双曲线C的左右两支分别交必须
1??1??k???1，1?.综合得直线m的斜率k的取值范围是k???1，????，1?.
?7??7?