2)
?3????1?3?2?1?1?2?1??121??1????2??
3)
?1??1?(?1)?2??2?(?1)????12????3??3?(?1)???4???4?(?1)1?2???1??22?2????3?2???3??4?2???42?4??6??8?
?120??123?????212??011?????30?1???1?2?2?1?3?01?0?2?1?3?(?1)??1?1?2?0?3?3?????2?1?1?0?2?3?2?2?1?1?2?0?2?0?1?1?2?(?1)???104?1????4?3?1??
4)
# 设
?101??1??1?1?0?(?1)?1?0?312312????????1?????02?10?1?2?(?1)?1?0?031?????????????110??0??031???1?1?1?(?1)?0?0????????1?312?????3?1?1?(?2)?2?(?2)???3??????2???0?1?3?(?2)?1?(?2)????8?031????2??????? ?101??,A??021????013???300??B??012????102??
求: 1) (A+B)(A-B);
2) A2-B2.
比较1)和2)的结果, 可得出什么结论? 解: 1)
2)
?101??30???01(A?B)(A?B)?(?021?????013????10?401???20??01??033?????115?????110??10?022?)(??2????011???9??3?1????1?????71??300??012?)?1?????3????102??15?60??65??
6
?101??10??02A2?B2??021?????013????01?114??9???2??055?????0510????51??30?011????3????1000???8??216????04?????5可得出的结论: 大家知道, 在代数公式上有a-b=(a+b)(a-b), 而将此公式中的a和b换成矩
阵A与B, 就不一定成立了, 这是因为矩阵乘法一般不满足交换律, 即一般AB≠BA, 当然也就有A2-B2≠(A+B)(A-B).
#. 已知矩阵A,B,C, 求矩阵X,Y使其满足下列方程:
0??300??012??2????2????102??14?4?1??56?? 22
解: 将此方程编上号, 用类似解线性方程组一样的办法来解,
?2X?Y?C?TX?Y?(A?B)?
将方程(1)的左边和(2)的左边和左边相加, 右边和右边相加, 等号还是成立, 得: 3X=C+(A+B)T 两边同乘1/3, 得
(2)式等号两边都加上X, 得 Y=(A+B)T-X (4) 将(3)式代入到(4)式, 得
?2X?Y?C?T?X?Y?(A?B)(1)(2)
11X?C?(A?B)T33
(3)
因此
1121Y?(A?B)T?C?(A?B)T?(A?B)T?C3333
#. 如矩阵AB=BA, 则称A与B可交换, 试证:
1) 如果B1, B2都与A可交换, 那么B1+B2, B1B2, 也与A可交换; 2) 如果B与A可交换, 那么B的k(k>0)次幂Bk也与A可交换. 证: 1) 因B1, B2都与A可交换, 即AB1=B1A, AB2=B2A, 则 (B1+B2)A=B1A+B2A=AB1+AB2=A(B1+B2) 即B1+B2与A可交换. 而且
(B1B2)A=B1(B2A)=B1(AB2)=(B1A)B2=(AB1)B2=A(B1B2), 因此B1B2与A可交换.
2)因B与A可交换, 即AB=BA, 则用归纳法, 当k=1时, 有B1=B, 结论显然成立. 假设当k=m时假设成立, 即ABm=BmA, 则当k=m+1时, 有
ABm+1=ABmB=BmAB=BmBA=Bm+1A, 结论也成立.
#. 如矩阵A=AT, 则称A为对称矩阵.
7
1T1T1?X?A?B?C?333?221?Y?AT?BT?C333 ?
设A,B都是n阶对称矩阵, 证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 证: 已知A=AT, B=BT,
充分性: 假设AB=BA, 则(AB)T=BTAT=BA=AB, 因此AB为对称矩阵. 必要性: 如果AB为对称矩阵, 即(AB)T=AB, 则因 (AB)T=BTAT=BA, 可得BA=AB.
#. 检验以下两个矩阵是否互为互逆矩阵?
解: 计算AB和BA如下:
?1?0A???0??0210032104?3??,2??1?0??1?21?01?21??B???001?2???0001??
0??21???1?2??01?1?1?2?(?2)?3?12?1?3?(?2)?4?1?1?(?2)?2?11?1?2?(?2)?3?1??1?11?(?2)?2?1??01?1?1?1?0AB???0??0234??1?2?01123????012??00??001??00?1?11?(?2)?2?1?01?1???00?0?0?1000??0100???I4???0010???0001??0??1?1?21?01?21??0???AB???001?2??0???0001???0?1?11?2?(?2)?1?01?1???00?0?0?1000??0100???I4???0010???0001??
234?123???012??001?1?3?(?2)?2?1?11?4?(?2)?3?1?2?1?2?(?2)?11?3?(?2)?2?1?1??1?11?2?(?2)?1??01?1?因此A与B确实互为逆矩阵.
#. 设A,B,C为n阶方阵, 且C非奇异, 满足C-1AC=B, 求证Bm=C-1AmC (m为正整数). 证: 用归纳法, 当m=1时条件已经成立为C-1AC=B, 假设当m=k时, 命题成立, 即有
8
Bk=C-1AkC, 则当m=k+1时, 有
Bk+1= BkB= C-1AkCC-1AC= C-1Ak(CC-1)AC= C-1AkIAC= C-1AkAC= C-1Ak+1C, 命题得证.
#. 若n阶矩阵A满足A2-2A-4I=0, 试证A+I可逆, 并求(A+I)-1. 证: 将A2-2A-4I=0改写为A2-2A-3I=I,
2
先解一元二次方程组x-2x-3=0, 根据公式
x1,2?b?b2?4ac?2a
其中a=1, b=-2, c=-3, 则
x2-2x-3=(x-3)(x+1), 那么, 根据矩阵相乘相加的性质也就能将A2-2A-3I因式分解为 A2-2A-3I=(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I), 因此我们有
(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I)=I, 即A+I与A-3I 互为逆矩阵, (A+I)-1=A-3I.
#. 证明: 如果A=AB, 但B不是单位矩阵, 则A必为奇异矩阵.
证: 用反证法, 假设A为可逆, 其逆为A-1, 则对于A=AB两边同时左乘A-1, 得 A-1A=A-1AB, 即I=B, 这与B不是单位矩阵相矛盾, 因此A必为奇异矩阵.
#. 判别下列矩阵是否初等矩阵?
x1,22?4?12?3???2??1, 因此可将多项式x2-2x-3因式分解为
?100??0?20????001??, 1) ??102??001?????010??3) ,
解: 1) 是初等矩阵P(2(-2)), 2) 是初等矩阵P(1,3), 3) 不是初等矩阵,
4) 是初等矩阵P(3(-4), 2).
#. 设A,B,C均为n阶可逆矩阵, 且ABC=I, 证明BCA=I
证: 因B,C为可逆矩阵, 则BC也是可逆矩阵, 且(BC)-1=C-1B-1, 因ABC=I, 对此等式两边右乘(BC)-1, 即ABC(BC)-1=I(BC)-1, 因为BC(BC)-1=I, 因此上式化简为A=(BC)-1, 因此当然有 BCA=BC(BC)-1=I.
#. 如果n阶矩阵A满足A2=A, 且A≠I, 则A为奇异矩阵.
证: 用反证法, 假设A为可逆, 其逆为A-1, 则上式两边左乘(或者右乘)A-1, 得 AAA-1=AA-1, 即A=I, 但这与A≠I相矛盾, 因此A的逆不存在, 即A为奇异矩阵.
#. 求下列矩阵的逆矩阵:
?001??010????100?? 2) ??100??01?4????001?? 4) ?9
?1111??22?1??A????11?1?1?A?1?24??1)
??582???; 2) ?1?11?1???1?1?11?? ??0a10?0?00a2?0?A???????????(ai?0,i?1,2,?,?000?a?n)n?1?3)
??an00?0??
解: 用对[A|I]进行行初等变换为[I|A-1]的办法来求:
1)
?22?1100?10?[A|I]???1?24010??1?240?r?1???r2??22?1100???582001??????582001??? r011/3?r1?(?2)???)??r?r2?1?24010?r2?(?3)?r3?11?(?53???r2?(1/3)?r?06?91?201?6?91???????????0?018?180?51???009?3rr3?r2?1002/32/9?1/9?r2?1/6?1002/3??3?(??1?/9?)??r1???11?r?060?210?1/33???3?1?/?9????0?009?11????001?1/3?2/32/9?1/9?A?1????1/3?1/61/6?因此, 最后得???1/31/91/9???
2)
??11111000?[A|I]??11?1?10100???1?11?10010???1?1?110001??
rr1??((??11))??r2?11111000?1?r??(??1?)?r?r3?14??00?2?2?1100???0?20?2?1010???0?2?20?1001??
?11111000??r??3???r2??0?20?2?1010???00?2?2?1100???0?2?20?1001??
10
1/30??20?11???2/9?1/9??1/61/6?1/91/9???