即解得β在这基α1,α2,α3下的坐标为2,3,-1, 即 β=2α1+3α2-α3, 不难验证确实有 (5,0,7)=2(1,-1,0)+3(2,1,3)-(3,1,2)
#. 判断Rn的子集S={X=(x1,x2,…,xn), 其中xn=0}是否Rn的子空间? 如果是子空间, 写出该子空间的基和维数.
解: 任取S中两个元素X=(x1,x2,…,xn),Y=(y1,y2,…,yn), 即xn=yn=0, 则X+Y的第n个分量xn+yn=0, 因此X+Y?S, 再任取S中的一个元素X和一实数k, 则kX的第n个分量kxn=0, 即kX?S, 因此S是Rn的子空间.
实际上, S是齐次方程0x1+0x2+…+xn=0的解集, 此齐次方程共有n-1个自由变元, 将这n-1个自由变元依次取1而其它变元为0, 就可以得到S的基或者说是齐次方程xn=0的基础解系.因此, S的维数为n-1, 其中的基或者说齐次方程xn=0的基础解系为: ξ1=(1,0,…,0,0), ξ2=(0,1,…,0,0),…,ξn-1=(0,0,…,1,0).
#. 在R3中, 设S1是由α1=(1,1,1),α2=(2,3,4)生成的子空间, S2是由β1=(3,4,5),β2=(0,1,2)生成的子空间, 证明S1=S2, 并说出该子空间的维数.
解: 要证明S1=S2只须证明α1,α2与β1,β2相互等价, 也就是要验证α1,α2能够被β1,β2线性表出, 同时β1,β2也能够被α1,α2线性表出.
首先验证α1,α2能够被β1,β2线性表出, 先验证α1能够被β1,β2线性表出, 就是要解线性方程组 x1β1+x2β2=α1, 写成标准的线性方程组的形式为
?x1??1/6?5/61/6??5??2???A?1????1/3?1/32/3??0???3?X??x2??????????1/2?1/2??x3???1/2???7?????1??
对其增广矩阵作初等行变换成为行最简矩阵:
?3x1?1??4x1?x2?1?5x?2x?12?1
方程有唯一解x1=1/3, x2=-1/3. 因此α1能够被β1,β2线性表出为
r1?1/3?301?r1?(?4)?r2?101/3??101/3??411??r?01?1/3??r?01?1/3?1?(?5)?r32?(?2)?r3???????????????????0??521???02?2/3???00?
1313 (1)
再验证α2能够被β1,β2线性表出, 就是要解线性方程组x1β1+x2β2=α1, 写成标准线性方程组的形式为
?1??1??2对其增广矩阵作初等行变换成为行最简矩阵:
?3x1?2??4x1?x2?3?5x?2x?42?1
方程有唯一解x1=2/3, x2=1/3. 因此α1能够被β1,β2线性表出为
26
r1?1/3?302?r1?(?4)?r2?102/3??102/3??413??r?011/3??r?011/3?1?(?5)?r32?(?2)?r3????????????????????524???022/3???000??
(2)
将(1)式和(2)式等号两边分别相加, 得 而(1)式两边乘-2再加到(2)式, 可得
因此β1,β2也能够被α1,α2线性表出. 所以两个向量组生成的子空间S2=S2. 下面讨论α1,α2是否线性无关, 即解齐次方程x1α1+x2α2=O, 即解如下方程:
?2?21?1??233
?1??1??2
?2??2?1??2
对此方程的系数矩阵作行初等变换
?x1?2x2?0??x1?3x2?0?x?4x?02?1
可见方程没有自由变量, 只有唯一零解, 因此α1,α2线性无关, 构成S1的一组基, 因此S1的维
数是2.
#. 设α1,α2,…,αn是Rn的一个基, A为n阶可逆矩阵, 求证Aα1,Aα2,…,Aαn也是Rn的一个基. 解: 这种表述方法是将所有的向量看作是列向量, 即n行一列的矩阵. 任给一向量β?Rn, 当然有A-1β?Rn, 又因α1,α2,…,αn是Rn的一个基, 因此向量A-1β可以由α1,α2,…,αn线性表出, 即存在一组数c1,c2,…,cn使得 A-1β=c1α1+c2α2+…+cnαn
则在上式两边同时左乘矩阵A, 可得 β=c1Aα1+c2Aα2+…+cnAαn
即β可由Aα1,Aα2,…,Aαn线性表出.
下面证Aα1,Aα2,…,Aαn线性无关. 用反证法, 如若不然, 假设Aα1,Aα2,…,Aαn线性相关, 齐次方程组
x1Aα1+x2Aα2+…+xnAαn=O
有非零解, 则方程两边左乘A-1可得 x1α1+x2α2+…+xnαn=O
也有非零解, 导出α1,α2,…,αn线性相关, 这与α1,α2,…,αn是Rn的一个基相矛盾. 因此Aα1,Aα2,…,Aαn线性无关, 从而也是Rn的一个基.
#. 证明: 同一个向量组的任意两个极大无关组等价.
证: 假设向量组α1,α2,…,αn的秩为r, 它的两个极大无关组为β1,β2,…,βr和γ1,γ2,…,γr, 则因为 向量组β1,β2,…,βr中的每一个向量都是向量组α1,α2,…,αn中的向量, 当然就能够被向量组 γ1,γ2,…,γr线性表出, 反之亦然, 因此向量组β1,β2,…,βr和向量组γ1,γ2,…,γr相互间等价.
#. 证明: 等价的向量组有相同的秩.
证: 假设向量组α1,α2,…,αn和向量组β1,β2,…,βm相互等价, 其中向量组α1,α2,…,αn的秩为r, 不妨假设其头r个向量α1,α2,…,αr为它的一个极大无关组, 而向量组β1,β2,…,βm的秩为s, 不妨假设其头s个向量β1,β2,…,βs为它的一个极大无关组. 则因为向量组α1,α2,…,αn和向量组β1,β2,…,βm相互等价, 必有它们的极大无关组α1,α2,…,αr和β1,β2,…,βs相互等价, 则两个线性无关的向量组相互等价, 必有它们的个数相同, 即r=s.
#. 设向量β可以由向量组α1,α2,…,αr-1,αr线性表出, 但向量β不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表出, 试证: 向量组α1,α2,…,αr-1,αr与α1,α2,…,αr-1,β有相同的秩.
27
?12?r1?(?1)?r2?12??12??13??r?01??r?01?1?(?1)?r32?(?2)?r3????????????????????14???02???00??
证: 因β可以由向量组α1,α2,…,αr-1,αr线性表出, 即存在一组数c1,c2,…,cr-1,cr使得 β=c1α1+c2α2+…+cr-1αr-1+crαr (1)
现证明cr?0, 如若不然, cr=0, 则上式就成为β=c1α1+c2α2+…+cr-1αr-1, 但这与题意所述β不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表出相矛盾.
因此将(1)式的两边减β, 然后两边减crαr, 两边再乘(-1/cr), 可得
?r??即αr可由向量组α1,α2,…,αr-1,β线性表出, 当然向量组α1,α2,…,αr-1,β也可由向量组α1,α2,…,αr-1,αr线性表出, 这两个向量组等价, 因此必有相同的秩.
#. 求下列向量组的秩, 并求出它的一个极大无关组:
1) α1=(2,0,1,1), α2=(-1,-1,0,1), α3=(1,-1,0,0),α4=(0,-2,-1,-1) 2) α1=(1,2,1,3), α2=(4,-1,-5,-6), α3=(1,-3,-4,-7) 解:
1) 解齐次方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=O, 化成AX=O的形式, 对其系数矩阵A作行初等变换成阶梯矩阵, 首项变元的个数为向量组的秩, 而首项变元对应的向量构成极大无关组.
c1cc1?1?2?2???r?1?r?1??crcrcrcr
则首项变元x1,x2,x3对应的向量α1,α2,α3构成极大无关组, 因此向量组的秩为3.
2) 解齐次方程组x1α1+x2α2+x3α3=O, 化成AX=O的形式, 对其系数矩阵A作行初等变换成阶梯矩阵, 首项变元的个数为向量组的秩, 而首项变元对应的向量构成极大无关组.
?2?0A?(?1,?2,?3,?4)???1??1?11r1?(?1)?r3?r1?(?2)?r4?0?1???????0?1??0?3?11?r3?(?4)?r4?0?1???????00??00?110??110?1??0?1?1?2??1?1?2?r?r14?????????100?1?00?1????10?1?2?110?? 0?1??110?1?r?(?1)?r23?0?1?1?2??1?2?r?(?3)?r24??????????00100?2????12?0048?? 0?1??1?2??12??00?
首项变元数为2个，因此秩为2，首项变元x1,x2对应的向量α1,α2构成极大无关组.
28
1?r1?(?2)?r2?141??14r?(?1)?r3?2?1?3?1?0?9?5?r?(?3)?r14????A?(?1,?2,?3)????????1?5?4??0?9?5?????3?6?70?18?10????
1??14r2?(?1)?r3??r2?(?2)?r4?0?9?5????????000???0? ?00
#. 求下列矩阵的秩
解: 求矩阵A的秩, 就是求A作为系数矩阵的齐次方程组AX=O的解中首项变元的数目. 因此将A作行初等变换变成阶梯矩阵后, 不为零的行数就是A的秩.
?218?2?30A???3?25??10337?7?5??80??20?
?21837??10320??2?307?5??2?307?5?r?r41????A???????3?2580??3?2580?????1032021837???? r1?(?2)?r2?10320?32?10r1?(?3)?r3???2?1r1?(?2)?r4?0?3?63?5?r2?r4?01????????????0?2?42?0?2?420????2?17??01?0?3?63?1r2?2?r3?r2?3?r4?0??????0??00100320??1?02?17?r?(?26/14)?r34???????????00014???0026??001003200秩为3.
#. 求下列齐次线性方程组的基础解系, 并写出其通解:
0?7??0??5?
20??17??014??00?
解: 对系数矩阵作行初行变换:
?x1?x2?2x3?x4?0??2x1?x2?x3?x4?0?2x?2x?x?2x?0234?1
x4为自由变元, 令x4=t, t为任意常数, 则有
r2?1?r12?1?r2?(?1)?10?10??112?1?r1?(?2)?r2?11?211?1??r?0?1?31??r?013?1?(?2)?r33?(1/3)??????????1??????????2212???00?34???001?4/3?? r3?1?r1?100?4/3?r3?(?3)?r2????????0103????001?4/3?? x1?44t,x2??3t,x3?t33
写成向量形式为:
29
?4??4??4?t?3??3??3??3t???3???3?X????t???4?4??4??t??????3??3??3??t????1??, 基础解系为?1?? ??
#. 求解下列非齐次线性方程组：
解: 对其增广矩阵作行初等变换:
?3x1?4x2?x3?2x4?3??6x1?8x2?2x3?5x4?7?9x?12x?3x?10x?13234?1
3?1??4??
4/31/301/3?0011??0000??
方程有两个首项变元x1和x4, 两个自由变元x2和x3, 令x2=s, x3=t, 其中s,t为任意常数, 则
?34123?r1?(?2)?r2?3412?68257??r?00011?(?3)?r3???????????91231013???0004r2?(?4)?r3?34101??1r2?(?2)?r1?r1?(1/3)????????00011????????0???00000???0x1?141?s?t,x4?1333, 将解写成向量形式, 有
#. 当a1,a2,b1,b2满足什么条件时, 下述方程组有解, 当方程组有解时, 求出其通解.
?x1??1?4s?1t??1???4???1?3??3??3??3??x??33???0??1??0?sX??2????????s???t???x3?t??0??0??1??????1??0??0??x4??1????????
2
解: 对增广矩阵进行行初等变换,
?x1?x2?x?x?34??x1?x3??x2?x4?a1?a2?b1?b?1?0??1??0100a1?a1??1100?0011?011a2?ar?(?1)?r212??????????0?110b1?a1?010b1????101b2?0101b2??
a1?a1?b2??1100?100?1r?r?0101?23?0101?bbr2?r4?r?(?1)?r2221???????????????0?110b1?a1??0011b1?b2?a1?????0011a0011a22????
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