5?k2det(A)?26?k20而5?k?(k?2)22r?(?2)?r2r1?2?r25?k320??4?2k4?k222?k024?2k4?k r?(?2)?r22r3?2?r15?k0?10?k21?1?2?(k?2)2?1204?k204?k r?2?r?102r1?2?r2?10213?(k?2)(k?5)2?12?0?16??(k?2)(k?5)(k?8)204?k008?k因此, 只有当k=5或者k=2或者k=8时, 此方程组才有非零解. #. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组 ??x1?x2?x3?0??x1??x2?x3?0?x?2?x?x?023?1 有非零解? 解: 此方程组的系数矩阵A为 ??A???1??1而 1??1??2?1??, 要使方程组有非零解, 必须det(A)=0, 1因此, 只有当λ=1或者μ=0时, 方程组才有非零解.
#. 设α1=(1,1,1), α2=(-1,2,1), α3=(2,3,4), 求β=3α1+2α2-α3
解: β=3α1+2α2-α3=3(1,1,1)+2(-1,2,1)-(2,3,4)=(3,3,3)+(-2,4,2)-(2,3,4) =(3-2-2, 3+4-3, 3+2-4)=(-1, 4, 1)
#. 设3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α), 求α, 其中
α1=(2,5,1,3), α2=(10,1,5,10), α3=(4,1,-1,1) 解: 将上述方程整理: 3α1-3α+2α2+2α=5α3+5α -3α+2α-5α=-3α1-2α2+5α3 (-3+2-5)α=-3α1-2α2+5α3 -6α=-3α1-2α2+5α3 最后得
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11det(A)?1??1012??10 按第3列展开1????11??1??(1??)?(1??)?1??2??112??1 ?r?(?1)?r1r1?(?1)?r2?13?1?1??2?11??1
???1??2??3?(2,5,1,3)?(10,1,5,10)?(4,1,?1,1)125115623651310151010555?(1,,,)?(,,,)?(,,?,)2223333366610105151553105?(1??,??,??,??)33236236236?(1,2,3,4)13
#. 设R为全体实数的集合, 并且设
V1?{X?(x1,x2,?,xn)|x1,?,xn?R,满足x1???xn?0}, V2?{X?(x1,x2,?,xn)|x1,?,xn?R,满足x1???xn?1}.
问V1,V2是否向量空间? 为什么?
解: (一般的技巧: 凡是对Rn作一个齐次线性方程的约束的集合都是向量子空间, 而作非齐次线性方程的约束的集合则因为它不穿过原点, 就不是向量子空间).
V1是向量空间, 且是Rn的向量子空间, 因为V1?R, 而任给X,Y?V1,k?R, 设
nX?(x1,x2,?,xn),x1???xn?0Y?(y1,y2,?,yn),y1??yn?0
则令Z?X?Y?(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn),
则因z1?z2???zn?x1?y1?x2?y2???xn?yn?
?x1???xn?y1???yn?0, 则X?Y?V1,
因为kX?(kx1,kx2,?,kxn), 而kx1???kxn?k(x1???xn)?0 则kX?V1,
因此, V1是Rn的向量子空间.
而V2不是向量空间, 是因为0?0???0?1, 零向量O不属于V2, O?V2.
#. 试证: 由?1?(0,0,1),?2?(0,1,1),?3?(1,1,1)所生成的向量空间就是R3
(?1,?2,?3)?R, 只须证R?Span(?1,?2,?3), 证: 因为Span3D?(d,d,d)?R123任给, 试求实数x1,x2,x3使
33x1α1+x2α2+x3α3=D, 即
x1(0,0,1)+x2(0,1,1)+x3(1,1,1)=(x3,x2+x3,x1+x2+x3)=(d1,d2,d3) 也就是解线性方程组
对其增广矩阵进行行初等变换成阶梯形矩阵:
x3?d1??x2?x3?d2??x?x?x?d233 ?1可见方程有解, 因此得证.
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?001d1??111d3??011d??r?011d?1?r3????22???????111d3???001d1??
#. 判数下列向量是线性相关还是线性无关. 1) α1=(1,1), α2=(2,2);
2) α1=(2,3), α2=(1,4), α3=(5,6);
3) α1=(1,1,1), α2=(2,1,3), α3=(0,1,2);
4) α1=(a11,0,0,…,0), α2=(0,a22,0,…,0),…,αn=(0,0,…,ann); 解:
1) 考察齐次方程x1α1+x2α2=O, 即x1(1,1)+x2(2,2)=(0,0),
整理得(x1+2x2, x1+2x2)=(0,0), 再写成如下的形式:
对系数矩阵进行行初等变换:
?x1?2x2?0??x1?2x2?0
存在一自由变量x2, 方程有非零解, 因此α1,α2线性相关. 2) 考察齐次方程x1α1+x2α2+x3α3=O 即x1(2,3)+x2(1,4)+x3(5,6)=(0,0)
整理得(2x1+x2+5x3, 3x1+4x2+6x3)=(0,0) 再写成如下形式:
?12?r1?(?1)?r2?12??12????????00?????
则因方程数少于变元数, 必有非零解, 因此α1,α2,α3线性相关. 3) 考察齐次方程x1α1+x2α2+x3α3=O 即x1(1,1,1)+x2(2,1,3)+x3(0,1,2)=(0,0,0)
整理得(x1+2x2, x1+x2+x3, x1+3x2+2x3)=(0,0,0) 再写成如下形式:
?2x1?x2?5x3?0??3x1?4x2?6x3?0
对系数矩阵进行初等行变换
?x1?2x2?0??x1?x2?x3?0?x?3x?2x?023?1
方程没有自由变量, 只有唯一零解, 因此α1,α2,α3线性无关.
4) 考察齐次方程x1α1+x2α2+…+xnαn=O,
即x1(a11,0,0,…,0,0)+x2(0,a22,0,…,0,0)+…+xn(0,0,…,0,ann)=(0,0,…,0) 整理得(a11x1,a22x2,…annxn)=(0,0,…,0) 再写成如下形式:
?120?r1?(?1)?r2?120??120?1?r3??111??r?0?11??r?1?(?1)?r32??????????0?11??????????132???012???003??
?a11x1?0?ax?0?222?????annxn?0
由于aii?0,i?1,2,?,n, 此齐次方程组只有零解, 因此α1,α2,…,αn线性无关.
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#. 设β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α4, β4=α4+α1, 证明向量组β1,β2,β3,β4线性相关. 证: 只须证明齐次方程 x1β1+x2β2+x3β3+x4β4=O (1) 有非零解, 即证明了向量组β1,β2,β3,β4线性相关.
将β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α4, β4=α4+α1代入(1)式, 得 x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α4)+x4(α4+α1)=O 整理后得
(x1+x4)α1+(x1+x2)α2+(x2+x3)α3+(x3+x4)α4=O
因此, 只须找到不全为零的x1,x2,x3,x4使得上式中的α1,α2,α3,α4,的系数等于0, 则命题得证. 也就是要使
解此齐次方程组, 对系数矩阵进行行初等变换得:
?x1?x4?x?x?12??x2?x3??x3?x4?0?0?0?0
(2)
?1?1??0??0001??1001??010?1?100?r?(?1)?r12??????????0110?110????011?0011???1001??1???r2?(?1)?r3?010?1?r3?(?1)?r4?0?????????????0011??0???0011???0方程有一个自由变量x4, 因此方程组(2)有非零解, 此解也就满足方程组(1), 因此β1,β2,β3,β4
线性相关.
#. 设向量组α1,α2,…,αs 线性无关, 证明向量组α1,α1+α2,…,α1+α2+…+αs也线性无关. 证: 考察齐次方程组
x1α1+x2(α1+α2)+…+xs(α1+α2+…+αs)=O (1) 整理后得
(x1+x2+…+xs)α1+(x2+…+xs)α2+…+xsαs=O (2)
因为α1,α2,…,αs线性无关, 因此要使(2)式乃至(1)式成立必有(2)中的α1,α2,…,αs的各个系数为0, 即
1?10?1??011??000?
00此齐次方程组的系数矩阵为上三角方阵, 对角线上元素全为1, 因此只有零解, 即齐次方程组(1)也只有零解, 因此向量组α1,α1+α2,…,α1+α2+…+αs线性无关.
#. 设α1,α2,α3是一组3维向量, 已知3维单位坐标向量 e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) 能由α1,α2,α3线性表出, 证明α1,α2,α3线性无关.
证: 用反证法, 假设α1,α2,α3线性相关, 则存在不全为零的数x1,x2,x3, 使得 x1α1+x2α2+x3α3=O
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?x1?x2???xs?0?x???x?0?2s????xs?0?
不妨假设x1≠0, 则可得
α1,α2,α3可由α2,α3线性表出, 则根据题意e1,e2,e3又可被α1,α2,α3线性表出, 则e1,e2,e3可被α2,α3线性表出, 则三个向量可被少于三个的向量线性表出, 其必线性相关. 但我们知道e1,e2,e3线性无关, 因此导出矛盾. 这就证明了α1,α2,α3必线性无关.
#. 设n维向量组α1,α2,…,αm线性相关. 证明: 任意加上h个n维向量αm+1,αm+2,…,αm+h构成的向量组α1,α2,…,αm,αm+1,αm+2,…,αm+h也线性相关.
证: 因向量组α1,α2,…,αm线性相关, 因此必有不全为零的数x1,x2,…,xm使得 x1α1+x2α2+…+xmαm=O,
因此, 选取m+h个数, 前面m个与x1,x2,…,xm相同, 后面h个数为0, 则这样的m+h个数仍然是不全为零, 且有
x1α1+x2α2+…+xmαm+0αm+1+0αm+2+…+0αm+h=O
所以向量组α1,α2,…,αm,αm+1,αm+2,…,αm+h也线性相关.
#. 判断下述向量组是否线性相关? α1=(1,0,…,0,a1), α2=(0,1,…,0,a2), …, αn=(0,0,…,1,an) 解: 因为向量组α1,α2,…,αn是由单位坐标向量组 e1=(1,0,…,0), e2=(0,1,…,0), …, en=(0,0,…,1)
增加一个分量构成的Rn+1中的向量组, 而因为e1,e2,…,en线性无关, 因此α1,α2,…,αn也线性无关.
#. 验证α1=(1,-1,0), α2=(2,1,3),α3=(3,1,2)是R3的一个基， 并把β=(5,0,7)用这个基线性表示。 解: 如果将α1,α2,α3看作列向量拼成的矩阵
?1?xx2?2?3?3x1x1, 既然α1可由α2,α3线性表出,即
有逆存在, 则它们必是R3的一个基, 因此试求此矩阵的逆如下:
?123??A???111????032??
?12310??11101???03200r2?(1/3)r2?(?2)?r1?1r2?(?3)?r3????????0??00??123100?r1?1?r2??0??????034110????1???032001?? 01/31/3?2/30?14/31/31/30??0?2?1?11??
因此A有逆存在为
r3?(?1/2)r3?(?1/3)?r1?1001/6?5/61/6?r3?(?4/3)?r2?????????010?1/3?1/32/3???1/2?1/2??0011/2?
因此α1,α2,α3线性无关确实是R3的一个基. 则任给一列向量D=(d1,d2,d3), 将其作为列向量,
则解方程组AX=D, 可得X=A-1D, 具体用β代入D, 可得
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?1/6?5/61/6??A?1???1/3?1/32/3???1/2?1/2??1/2?