入此式, 得A2X=λX, 但A2X=A(AX)=A(λX)=λAX=λ2X, 因此有
λX=λ2X, 即λ2X-λX=(λ2-λ)X=O, 因为X为特征向量则必不为零向量, 因此只能有 λ2-λ=0, 即λ(λ-1)=0,
因此, A的特征值只能取0或者1值.
#. A是3阶实对称矩阵, A的特征值为1, -1, 0. 其中λ=1和λ=0所对应的特征向量分别为(1,a,1)T及(a,a+1,1)T, 求矩阵A.
解: 此题原本不适宜在这一章做. 因为A是实对称矩阵, 则必有它的各个不同特征值对应的特征向量相互正交, 因此特征向量(1,a,1)与(a,a+1,1)正交, 即对应分量相乘相加后等于0, 即
1a?a(a?1)?1?a2?2a?1?(a?1)2?0, 因此a=-1, λ=1和λ=0对应的特征向量为
α1=(1,-1,1)T及α2=(-1,0,1)T, 则因剩下的那个特征向量, 即λ=-1对应的特征向量α3=(x1,x2,x3)T必与α1和α2正交, 由此可得下面的齐次方程组:
对其系数矩阵作行初等变换,
?x1?x2?x3?0???x1?x3?0
方程有一个自由变量x3, 令x3=t为任意常数, 则x1=x3=t, x2=2x3=2t, 写成向量形式, 有
r?(?1)?1?11?r1?r2?1?11?r2?10?1?2?r1???????????101??0?12??01?2???????
?x1??t??1??x???2t??t?2??2???????x3????t????1??, 因此t(1,2,1)T为特征值-1对应的特征向量, 可令α3=(1,2,1).T
将这三个向量规范化得
?1??2??3?131612?1?(?2?(131,?,1326,1136)T
6)T
22 ?111????362??12P?(?1,?2,?3)???0???36?111???362?? 则令
?100??P?1AP?PTAP????0?10????000??则必有
(?1,0,1)T?(?1,01)T, 因此有
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?1??31A?P?PT????3?1??3?1??31????3?1??3
162616?1??1??2??100??3??10??0?10??6???000???11?????2?2???132601??1?3??61??2?????6?3??10????6?120361??3?1?6?1??2? 1?6?2???3?1?6??
162616?1??1??2??310?????61????02??231?32?3??001??A??x10????100??有三个线性无关的特征向量, 求x. #. 已知
解: 特征方程为
因此, A有三个特征值λ1=λ2=1, λ3=-1, 因此, x的选值必须使特征值为重根1的时候对应的齐
次方程有两个自由变量, 才能够得到两个线性无关的特征向量.
因为待定数为x, 因此齐次方程就用y1,y2,y3来作变元, 则特征值为1对应的齐次方程为:
1r???r??0113det(A??I)?x1??0?x1??010??1??200
?(1??2)(1??)?(1??)(1??)2
0??对系数矩阵作行初等变换
??y1?y3?0??xy1?0?y?y?03?1
如要方程有两个自由变元, 必须x=0.
#. 判断第一题中各矩阵是否可对角化. 如可对角化, 求可逆矩阵T, 使得T-1AT为对角阵. 解: 各矩阵是否可对角化的等价条件是要有与矩阵阶数一样多的线性无关的特征向量. 1) 矩阵A有两个线性无关的特征向量α1=(1,1)T, α2=(-2,1)T, 因此可对角化,
r1?(?1)??101?r1?(?x)?r2?10?1??x00??r?00x?1?(?1)?r3????????????10?1???000??
2) 矩阵A有三个线性无关的特征向量α1=(-1/2,1,0)T,α2=(-1,0,1)T,α3=(1,1/2,1)T,因此可对角化,
?1?2?T?(?1,?2)???11??
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3) A的三个特征值为λ1=1, λ2=2, λ3=2a-1. 当λ3?1且λ3?2时, 特征方程没有重根, 三个特征值不同, 因此对应的必有三个线性无关的特征向量, A可对角化, 三个特征向量为 α1=((a+2)/3,1,0)T,α2=(2,2,1)T,α3=(1,1,a-1)T, 因此
??1/2?11??T?(?1,?2,?3)??101/2???11??0?
而当λ3=2a-1=1时, a=1, 这时候α1=α3=(1,1,0)T, 则不够三个线性无关的特征向量, 矩阵A不
能被对角化.
当λ3=2a-1=2时, a=3/2, 这时候α3=(1,1,1/2)T=(1/2)α2, 即与α2线性相关, 这样就还是不够三个线性无关的特征向量, 矩阵A也不能被对角化.
1??(a?2)/32?T?(?1,?2,?3)??121???01a?1???
?2a2??A??5b3?????11?1??有特征值1和-1, 问A是否能对角化? #. 已知
解: 将已知的特征值1和-1分别代入特征方程det(A??I)?0, 可得关于a和b的两个方
程,
先将特征值1代入特征方程得
得a=-1,
再将特征值-1代入特征方程得
c?c21a2c1?(?2)?c21a?101det(A?I)?5b?13?5b?4?7?7(a?1)?0?11?2?100
3a2c?c31det(A?I)?5b?13?110将a=-1代入上式, 得 因此有a=-1,b=-3, 则
?2a?325b?63??3(a?3)?2(b?6)?0?100
?3?2?2b?12?0,b??6/2??3
看A除了1和-1外还有没有其它的特征值, 再重解特征方程,
?2?12??A??5?33?????11?1??
2??01??r3?r11??det(A??I)?5?3??3?5?3??3?11?1???11?1??
c?c2101c1?(?1011)?c23?(1??)5?3??3?(1??)5?1??3?12?138
1?1???11???1??
因此知道矩阵A除了1和-1这两个特征值外还有一个特征值-2, 这样三个不同的特征值必有三个线性无关的特征向量, A可对角化.
#. 已知λ1,λ2,λ3是A的特征值, α1,α2,α3是相应的特征向量, 如果α1+α2+α3仍是A的特征向量, 证明λ1=λ2=λ3.
证: 如α1,α2,α3及α1+α2+α3都是A的特征向量, 假设α1+α2+α3对应的特征值为λ, 则有 Aα1=λ1α1, Aα2=λ2α2, Aα3=λ3α3, 和 A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3) (1) 但
A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3 (2) 将(1),(2)两式左边与右边分别相减, 得 λ(α1+α2+α3)-λ1α1-λ2α2-λ3α3=O 整理后得
(λ-λ1)α1+(λ-λ2)α2+(λ-λ3)α3=O
而因为α1,α2,α3是对应于三个特征值的特征向量, 则必线性无关, 因此上式要成立必须α1,α2,α3的系数都为0, 即
101r3?r2?(1??)(1??)5?13?(1??)(1??)402???11?1???11?1??
?(1??)(1??)[4?(2??)]?(1??)(1??)(2??)
101则必有λ1=λ2=λ3, 证毕.
????1?0?????2?0?????03?
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