（新教材）北师大版精品数学资料
3．2 双曲线的简单性质
学习目标 1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.了解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题．
知识点 双曲线的性质
标准方程 x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2图形 范围 对称性 性质 渐近线 离心率 a，b，c间的关系
x2y2y2x2
1．双曲线2－2＝1与2－2＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(√)
ababx2y2y2x2
2．双曲线2－2＝1与2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×)
abab3．实轴长与虚轴长相等的双曲线的离心率为2.(√)
x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 by＝±x aay＝±x bce＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 ac2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
类型一 双曲线的性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线 x2y2
解 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
94∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝13. 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，
c13
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，
a32
渐近线方程为y＝±x.
3引申探究
求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
x2y2
解 把方程nx－my＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
mn
2
2
由此可知，实半轴长a＝m， 虚半轴长b＝n，c＝焦点坐标为(c
离心率e＝＝a
m＋n，
m＋n，0)，
m＋n，0)，(－m＋n
＝m
n1＋， m
顶点坐标为(－m，0)，(m，0)， 所以渐近线方程为y＝±nmnx，即y＝±x.
mm反思与感悟 由双曲线的方程研究性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的简单性质．
跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线 解 把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为 y2x2
－＝1. 4232由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3， c＝
a2＋b2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，
c54
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.
a43类型二 由双曲线的性质求标准方程
例2 (1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) x2y2
A.－＝1 44x2y2
C.－＝1 84
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线 答案 B
解析 由已知，得双曲线的焦点在y轴上， y2x2
从而可设双曲线的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)．
ab∵一个顶点为(0,2)，∴a＝2.
又实轴长与虚轴长之和等于焦距的2倍， ∴2a＋2b＝22c. 又a2＋b2＝c2，∴b2＝4， y2x2
∴所求双曲线的方程为－＝1.
44
x2y2
(2)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点A(23，－3)的双曲线的方程．
169
y2x2
B.－＝1 44y2x2
D.－＝1 84
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线 x2y23
解 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
1694当所求双曲线的焦点在x轴上时，
x2y2
设所求双曲线的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)．
abb33因为＝，所以b＝a.①
a44
129
因为点A(23，－3)在所求双曲线上，所以2－2＝1.②
ab联立①②得方程组无解． 当所求双曲线的焦点在y轴上时，
y2x2
设所求双曲线的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，
aba33因为＝，所以a＝b.③
b44
912
因为点A(23，－3)在所求双曲线上，所以2－2＝1.④
ab9
由③④，得a2＝，b2＝4，
4y2x2
所以所求双曲线的方程为－＝1.
944
反思与感悟 (1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧
x2y2
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为2－2＝1(a>0，b>0)．
aby2x2
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为2－2＝1(a>0，b>0)．
ab
x2y2x2y2
③与双曲线2－2＝1共焦点的双曲线方程可设为2－2＝1(λ≠0，－b2<λ
aba－λb＋λx2y2x2y2
④与双曲线2－2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为2－2＝λ(λ≠0)．
abab⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
y2x2
跟踪训练2 (1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准
43方程；
x2y223
(2)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点
ab3的距离为3
，求此双曲线的标准方程． 2
考点 由双曲线的简单性质求方程
题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 y2x2
解 (1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．
43∵点M(3，－2)在双曲线上， 49
∴－＝λ，即λ＝－2. 43
x2y2
∴双曲线的标准方程为－＝1.
68
a2＋b2423c23
(2)∵e＝，∴＝，∴2＝，∴a2＝3b2.①
3a3a3又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0， ∴d＝
|ab|a2＋b2
＝
3
，即4a2b2＝3(a2＋b2)．② 2
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1. x22
∴双曲线的标准方程为－y＝1.
3类型三 求双曲线的离心率
x2y2
例3 已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴
ab的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率
c2y2
解 设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得2－2＝1，
abb2
那么y＝±. a
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，