题点 已知双曲线的焦距求方程 答案 D
解析 ∵等轴双曲线的一个焦点为F1(－6,0)，∴c＝6， ∴2a2＝36，a2＝18，
x2y2
∴双曲线的标准方程为－＝1.
1818
x2y25
6．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
ab21
A．y＝±x
41
C．y＝±x
2
考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的渐近线方程 答案 C
a2＋b25x2y25b21
解析 已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为，故有2＝，所以2＝，解
ab2a4a4b1
得＝. a2
1
故双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选C.
2
x2y2
7．设F为双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲
ab→→
线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB＝－3AF，则双曲线C的离心率e等于( ) A.
10534B.C.5D. 323
1
B．y＝±x
3D．y＝±x
考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 D
x2y2
解析 设F(c,0)，则过双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为－1的直线l的
ab方程为y＝－(x－c)， b
而渐近线方程是y＝±x，
a
??y＝c－x，?ac，－bc?由?得B?， ba－ba－b?????y＝－ax，
??y＝c－x，?ac，bc?由?b得A?，
a＋ba＋b?????y＝ax，
→?2abc，－2abc?AB＝?2222?， a－ba－b??→?bc，－bc?AF＝?，
a＋b??a＋b?→→
由AB＝－3AF，
?2abc，－2abc??bc，－bc?得?2222?＝－3??， a－ba－ba＋ba＋b????
2abcbc则22＝－3·， a－ba＋b5即b＝a，
3则c＝
a2＋b2＝34a， 3
c34则e＝＝，故选D.
a3二、填空题
x2y2
8．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且经过点(2，1)，则该双曲
ab线的方程为________．
考点 由双曲线的简单性质求方程
题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 答案 x2－y2＝1
解析 ∵双曲线的渐近线方程是y＝±x， ∴a＝b，∴双曲线的方程为x2－y2＝a2，
又双曲线经过点(2，1)，代入方程可得a2＝1， 故该双曲线的方程是x2－y2＝1.
x2
9．已知双曲线y－＝1(m＞0)的离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是________．
m
2
考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 双曲线离心率的取值范围 答案 (0,3)
x2
解析 由双曲线y－＝1(m＞0)知，a＝1，b＝m，
m
2
c
所以e＝＝
a
1＋m，
1＋m＜2，解得0＜m＜3.
又e∈(1,2)，所以1＜
x2y2
10．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，由F2向双曲线C
ab的一条渐近线作垂线，垂足为H，若△F1HF2的面积为b2，则双曲线C的渐近线方程为________．
考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线 答案 y＝±x
a
解析 设过F2(c,0)与渐近线bx－ay＝0垂直的直线为l，则l的方程为y＝－(x－c)，
b
??bx－ay＝0，则?的解即为H点的坐标， a??y＝－b?x－c?
aab?可得H??c，c?. 又△F1HF2的面积为b2， 所以SF1HF22
1ab
＝×2c×＝b2，解得a＝b， 2c
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
2x2y222a11．过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c,0)(c＞0)作圆x＋y＝的切线，切点为ab4
→1→→
E，延长FE交双曲线右支于点P，若OE＝(OF＋OP)，则双曲线的离心率为________．
2考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线离心率 答案
10 2
解析 如图，设双曲线的右焦点为M，连接PM.
∵OE⊥PF，∴在Rt△OEF中， |EF|＝a2c－.
4
2
→1→→又OE＝(OF＋OP)，
2∴E是PF的中点， ∴|PF|＝2|EF|＝2|PM|＝2|OE|＝a.
由双曲线的定义知，|PF|－|PM|＝2a， ∴2
a2c－－a＝2a，
4
2
a2c－，
4
2
c10∴e＝＝. a2
三、解答题
12．已知双曲线的一条渐近线为x＋3y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
考点 由双曲线的简单性质求方程
题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 x2y2
解 椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为83.
6416①当双曲线的焦点在x轴上时， x2y2
设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，
ab
?a2＋b2＝48，?∴?b3
＝，??a3
2
??a＝36，解得?
2??b＝12.
x2y2
∴双曲线的标准方程为－＝1；
3612
②当双曲线的焦点在y轴上时， y2x2
设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，
ab
?a2＋b2＝48，?∴?a3
＝，??b3
2
??a＝12， 解得?
2??b＝36.
y2x2
∴双曲线的标准方程为－＝1.
1236由①②可知，双曲线的标准方程为 x2y2y2x2
－＝1或－＝1. 36121236
x22
13．已知点A(0,1)，点P在双曲线C：－y＝1上．
2(1)当|PA|最小时，求点P的坐标；
(2)过点A的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为23，求直线l的方程． 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程研究其他问题 解 (1)设P(x，y)，则|PA|＝＝
2＋2y2＋?y－1?2＝x2＋?y－1?2
18
y－?2＋， 3??3?3
1
当y＝时，|PA|最小，
3
251
故所求点P的坐标为?±，?.
?33?(2)由题知直线l的斜率存在，故可设l的方程为y＝kx＋1， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，与双曲线方程联立得 (1－2k2)x2－4kx－4＝0，
21则Δ＝16(1－k)＞0且＜0，即k＜. 21－2k2
2
－4
由根与系数的关系得x1＋x2＝
，x1x2＝，
1－2k21－2k2
4k
－4