b2
所以＝2c，所以b2＝2ac，
a
c?2c
所以c2－2ac－a2＝0，所以?－2×－1＝0， ?a?a即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋2或e＝1－2(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋2.
反思与感悟 求双曲线离心率的三种方法 c
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解．
a(2)若已知a，b，可直接利用e＝
b?21＋??a?求解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
x2y2
跟踪训练3 设双曲线2－2＝1(b＞a＞0)的焦距为2c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)两点，
ab已知原点到直线l的距离为
3
c，则双曲线的离心率为________． 4
考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 求双曲线的离心率 答案 2
解析 如图所示，在△OAB中，
|OA|＝a，|OB|＝b，|OE|＝|AB|＝a2＋b2＝c.
3c， 4
因为|AB|·|OE|＝|OA|·|OB|，
33所以c·c＝ab，即(a2＋b2)＝ab，
44
两边同除以a2，得
3?b?2b3－＋＝0， 4?a?a4
bb3
解得＝3或＝(舍去)，
aa3c所以e＝＝
a
a2＋b2
＝a2b?21＋??a?＝2.
1．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( ) A．实轴长为42，虚轴长为2 B．实轴长为82，虚轴长为4 C．实轴长为2，虚轴长为42 D．实轴长为4，虚轴长为82 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程求a，b，c 答案 B
x2y2
解析 双曲线方程x－8y＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝42，b＝2，所以双曲
324
2
2
线的实轴长为82，虚轴长为4.
1
2．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是( )
2y2
A．x－＝1
4
2
x22
B.－y＝1 4x2
D．y－＝1
4
2
y22
C.－x＝1 4
考点 由双曲线的简单性质求方程
题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程 答案 D
y22x2y222
解析 由选项知，焦点在y轴上的双曲线有－x＝1与y－＝1，而－x＝1的渐近线方
444x21
程是y＝±2x，y－＝1的渐近线方程是y＝±x，故选D.
42
2
x2y2
3．若双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为
ab( )
A.
7545B.C.D. 3433
考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案 D
x2y2
解析 ∵双曲线2－2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，
ab∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2， c5
∴e＝＝，故选D.
a3
1
4．设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e＝________.
2考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案
5或5 2
b1
解析 当焦点在x轴上时，＝，
a2b2155
所以e＝1＋2＝1＋＝，所以e＝；
a442
2
a1
当焦点在y轴上时，＝，
b2
b2
所以e＝1＋2＝1＋4＝5，所以e＝5.
a
2
y2
5．已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,66)．当△APF周
8
2
长最小时，该三角形的面积为________． 考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程研究其他问题 答案 126
解析 设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即x
为|AP|＋|PF1|最小，当A，P，F1三点共线时最小(P在A，F1之间)，过AF1的直线方程为
－3y2
＋＝1，与x－＝1联立，解得P点坐标为(－2,26)，此时S＝S866
y
2
AF1F?S1
－S＝F1PF2
1
|F1F|·yA－|F1F|·yP＝126.
2
1．随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．
2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若x2y2
已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为2－2＝λ(λ≠0)求解．
nmx2y2x2y2
3．与双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为2－2＝λ(λ≠0，a
abab＞0，b＞0)．
一、选择题
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( ) A．2B．22C．4D．42 考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线 答案 C
x2y2
解析 将双曲线化成标准形式为－＝1，得2a＝4.
48
x2y2
2．若双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
abA．y＝±2x 1C．y＝±x
2
考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 渐近线与离心率的关系 答案 B c
解析 由e＝＝a
b?2
?b?2＝2. 1＋?＝3，得?a??a?B．y＝±2x 2D．y＝±x
2
故渐近线方程为y＝±2x，故选B.
x2y2
3．设F1，F2是双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|
ab
＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( ) A.2 B.32 C.3
D.62
考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 C
解析 不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a， 又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a， 则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且为30°， ∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 30°， ∴(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a×2c×
3
2
， 化为e2－23e＋3＝0，解得e＝3.
．设双曲线x2a＋y2
49＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( A．－4B．－3C．2D．1 考点 双曲线的简单性质
题点 由双曲线方程求a，b，c及渐近线 答案 A
解析 ∵方程表示双曲线， y2x2
∴a<0，标准方程为9－－a＝1，
∴渐近线方程为y＝±3－a
x， ∴
3
＝3
－a
2，解得a＝－4. 5．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x29－y2
9＝1 B.y2x2
9－9＝1 C.y218－x2
18
＝1 D.x2y2
18－18
＝1 考点 由双曲线的简单性质求方程
)