∴|x1－x2|＝21－k
?x1＋x2?2－4x1x2＝，
1－2k2
4
2
1141－k
S△OMN＝×1×|x1－x2|＝·＝23，
221－2k2
121
解得k2＝或k2＝(舍去)，即k＝±，
432∴l的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 四、探究与拓展
x2y2
14．已知F1，F2分别是双曲线E：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1
ab1
与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
3A.2 C.3
考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 A
b2
解析 因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝. a1|MF1|1
又sin∠MF2F1＝，所以＝，
3|MF2|3即|MF2|＝3|MF1|.
2b2
由双曲线的定义，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，
a所以b2＝a2，
所以c2＝b2＋a2＝2a2， c
所以离心率e＝＝2.
a
x22
15．已知双曲线C：2－y＝1(a＞0)，直线l：x＋y＝1，双曲线C与直线l有两个不同的交
a点A，B，直线l与y轴的交点为P. (1)求离心率e的取值范围； →5→
(2)若PA＝PB，求a的值．
12考点 双曲线的简单性质
3B. 2D．2
题点 由双曲线方程研究其他问题
解 (1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，得 x2??a2－y＝1，
方程组?有两个不同的解，
??x＋y＝1消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
2
??1－a≠0，∴?
422
??Δ＝4a＋8a?1－a?＞0，
2
解得－2＜a＜2且a≠±1. 又∵a＞0，∴0＜a＜2且a≠1.
1＋a2
＝a
1＋1， a2∵双曲线的离心率e＝∵0＜a＜2且a≠1， ∴e＞
6
且e≠2， 2
∴双曲线C的离心率e的取值范围是?
6?， 2∪(2，＋∞)． ?2?
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得P(0,1)． →5→
∵PA＝PB，
12
5
∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，
125
由此可得x1＝x2.
12
∵x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0， 172a2
∴x1＋x2＝x2＝－，
121－a2522a2
x1x2＝x2＝－，
121－a2
2892289消去x2得－＝，即a＝. 1691－a26017
又∵a＞0，∴a＝.
13
2a2