第七章空间解析几何与向量代数
习题7-1
★★1．填空：
（1） 要使（2） 要使
★2．设ua?b?a?b成立，向量a , b应满足a?b
a?b?a?b成立，向量a , b应满足a//b ，且同向
?a?b?2c , v??a?3b?c，试用a , b , c表示向量2u?3v
知识点：向量的线性运算
解：2u?3v?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c
★3．设P , Q两点的向径分别为r1 , r2，点R在线段PQ上，且
PRRQ?m，证明点R的向径为 nr?n r1?m r2m?n
知识点：向量的线性运算
证明：在?OPQ中，根据三角形法则OQ?OP?PQ，又PR?mmPQ?(r2?r1)，
m?nm?n∴OR?OP?PR?r1?nr?mr2m(r2?r1)?1m?nm?n
★★4．已知菱形
ABCD的对角线AC?a , BD?b，试用向量a , b表示AB , BC , CD , DA。
知识点：向量的线性运算
解：根据三角形法则， AB?BC?AC?a , AD?AB?BD?b，又ABCD为菱形，
AD?BC（自由向量），
????????????????a?b????????????b?a?CD??DC??AB?∴2AB?AC?BD?a?b?AB? 22?a?b???a?b∴AD?BC?，DA??
22∴
★★5．把?ABC的BC边五等分，设分点依次为D1 , D2 , D3 , D4，再把各分点与点
A连接，试以
AB?c , BC?a表示向量D1A , D2A , D3A 和D4A。
知识点：向量的线性运算
解：见图7-1-5，
A c B a D1 D2 图7-1-5 C D3D4
11BC?D1A??AD1??(c?a) 55234同理：D2A??((c?a), D3A??(c?a), D4A??(c?a)
555根据三角形法则，
AB?BD1?AD1, BD1?习题7-2
★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A(2 ,?2 , 3)； B(3 , 3 , ?5)； C(3 , ?2 , ?4)； D(?4 , ?3 , 2)
答：A(2 ,?2 , 3)在第四卦限，B(3 , 3 , ?5)在第五卦限，C(3 , ?2 , ?4)在第八卦限，
D(?4 , ?3 , 2)在第三卦限
★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：
A(2,3,0); B(0,3,2); C(2,0,0); D(0,?2,0)
知识点：空间直角坐标
答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，
∴点
A在xoy坐标面上；B在yoz坐标面上；C在x轴上；D在y轴上。
★3．求点(a,b,c)关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。
答：（1）(a,b,c)关于xoy面的对称点的坐标为(a,b,?c)；关于xoz面的对称点的坐标为(a,?b,c)；
关于yoz面的对称点的坐标为(?a,b,c)。
（2）(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,?b,?c)；关于y轴的对称点的坐标为(?a,b,?c)；
关于z轴的对称点的坐标为(?a,?b,c)
（3）(a,b,c)关于原点的对称点的坐标为(?a,?b,?c)
★★4．过点
P(x,y0,z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xoy坐标面的平面，问在它们上面的点的坐00标各有什么特点？
答：过点P(x,y0,z0)平行于z轴的直线上的点x、y坐标一定为x0,y0，因此坐标为(x0,y0,z)；00过点P(x,y0,z0)平行于xoy坐标面的平面上的点的竖坐标一定为z0，因此坐标为(x,y,z0) 00★5．求点M(5,?3,4)到各坐标轴的距离。
22解：∵M(x,y,z)到x轴的距离为z?y
∴M(5,?3,4)到x轴的距离为同理M(5,?3,4)到y轴的距离为
z2?y2?9?16?5；
x2?z2?25?16?41；
M(5,?3,4)到z轴的距离为x2?y2?25?9?34★★6．在yoz面上，求与三点
A(3,1,2),B(4,?2,?2),C(0,5,1)等距离的点。
知识点：空间两点的距离
解：∵所求点在yoz面上，∴设所求点的坐标为(0,y,z)，由条件可知：
9?(y?1)2?(z?2)2?16?(y?2)2?(z?2)2?(y?5)2?(z?1)2
?3y?4z??5?y?1，∴所求点为(0,1,?2) ?????4y?z?6?z??2??????????????★7．已知两点M(0,1,2),M2(1,?1,0)，试用坐标表示式表示向量M1M2,?2M1M2。 1知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算
解：M1M2?{1,?2 , ?2}；?2M1M2??2{1,?2 , ?2}?{?2, 4, 4}
★8．求平行于向量a?{6,7,?6}的单位向量
知识点：向量的坐标表示及代数运算
解：平行于向量a?{6,7,?6}的单位向量有和a同向和反向两个，
∴a0??a1676??{6,7,?6}??{, , ?} a11111136?49?36???????★★9．已知两点M(4,2,1),M(3,0,2)，计算向量MM的模、方向余弦、方向角。 1212知识点：向量的坐标表示及代数运算
解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得：
M1M2?{?1 , ?2 , 1}?M1M2?1?2?1?2 , cos???1?2,cos??22cos??12?3????? , ?? , ??2343
★★10．已知向量
a的模为3，且其方向角????60?,??45?，求向量a。
知识点：向量的坐标表示及相关概念
解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得：
???3323a?a{cos?,cos?,cos?}?3{cos,cos,cos}?{,,}
343222★★11．设向量
a的方向余弦分别满足
(1)cos??0,(2)cos??1,(3)cos??cos??0
问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何？
知识点：向量的方向余弦
解：（1）cos??0表示向量和x轴正向夹角为
（2）cos?（3）cos?于z轴
★12．已知
?，因此该向量和x轴垂直，或平行于yoz面 2?1表示向量和y轴正向夹角为零，因此该向量和y轴平行且方向相同 ?cos??0表示向量和x、y轴正向夹角都为
?，说明该向量和x、y轴都垂直，因此平行2r?4,r与轴?的夹角是60，求Prj?r。
?知识点：向量在轴上的投影
解：根据投影公式Prj?r?rcos(r,μ)?2?
(2,?1,7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,?4,7，求该向量的起★★13．一向量的终点为B点
A的坐标。
知识点：向量在坐标轴上的投影
解：∵向量的坐标分量即为它在x轴、y轴和z轴上的投影，设起点A为A(x,y,z)，则：
AB?{2?x, ?1?y, 7?z}?{4, ?4, 7}?(x,y,z)?(?2, 3, 0)
★★14．求与向量a?{16,?15,12}平行，方向相反，且长度为75的向量b。
知识点：向量的坐标表示及代数运算
解：由条件可得：b??a，b长度为75，∴ ??162?152?122?75????3
∵b和a反向，∴???3?b??a={?48,45,?36}，
习题7-3
★★1．设
a?3 , b?5，且两向量的夹角???/3，试求(a?2b)?(3a?2b)。
知识点：向量的数量积及其运算规律
解：根据数量积的运算规律：(a?2b)?(3a?2b)?3a2?2a?b?6b?a?4b2
?3a?4a?b?4b22，∵a?b?abcos(a?b)??15?(a?2b)?(3a?2b)??103 2★★2．已知M1(1,?1, 2), M2(3,3,1), M3(3,1,3)，求同时与M1M2 , M2M3垂直的单位向量
知识点：向量的向量积
解：∵由向量积性质：a?b?a, a?b?b，M1M2?{2,4,?1} , M2M3?{0,?2, 2}
i∴M1M2 ? M2M3j4k?1?6i?4j?4k为同时与M1M2 , M2M3垂直的向量 2?20?2∴所求单位向量为?13?2?2222{3,?2, ?2}??{317,?217 , ?217}
★3．设力
f?2i?3j?5k作用在一质点上，质点由M1(1,1,2)沿直线移动到M2(3,4,5)，求此力
所做的功（设力的单位为N，位移的单位为m）
知识点：数量积的物理意义
解：数量积的物理应用之一：力沿直线作功。位移为M1M2?{2,3,3}，
∴W?f?M1M2?(2i?3j?5k)?(2i?3j?3k)?10(N?m)
?{4,?3,4)在向量b?{2,2,1}上的投影。
★4．求向量a知识点：向量在轴上的投影
解：根据公式Prjba?acos(a,b)?a★★5．设a?a?ba?b??2。
a?bb有怎样的关系能使?a??b与z轴垂直？
?{3,5,?2} , b?{2,1,4}，问?与?知识点：两向量垂直的充要条件
解：根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零，取z轴的单位向量{0,0,1)，则
(?a??b)?{0,0,1}??2??4??0???2?
★★★6．在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为
x1的点P有一与OP在O1处，1成角?1的力F1作用着，
的另一侧与点O的距离为x2的点P2处，有一与OP2成角?2的力F2作用着，如图，问?1，?2，x1，
x2，F1
，
F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？