z z yyo x 图7-5-11
o x ?z?x2?y2（1）由于旋转抛物面z?x?y(0?z?4)投影到xoy面上时，它的边界线是??z?422，
?x2?y2?4∴在xoy面上的投影为：?；
?z?0（2）由于旋转抛物面z?x2?y2(0?z?4)投影到yoz面上时，它的边界线是：
?z?x2?y2,(0?z?4)?y2?z?4∴在yoz面上的投影为：? ?x?0??x?0?x2?z?4（3）同理，旋转抛物面z?x?y(0?z?4)在xoz面上的投影为：?
?y?022★★★12．假定直线
L在
yoz平面上的投影方程为??2y?3z?1，而在
?x?0zox平面上的投影方程为
?x?z?2，求直线L在xoy面上的投影方程。 ?y?0?解：∵直线L在yoz平面上的投影方程为??2y?3z?1，∴直线L一定在投影柱面2y?3z?1上，
?x?0z得到直线L在
同理，直线L也一定在投影柱面x??2y?3z?1z?2上，∴直线L方程为?，消去
?x?z?2?3x?2y?7xoy面上的投影方程：?
z?0?
内容概要 主要内容（7-6，7-7） 空间平面及其方程 平面的截距式方程 平面的一般方程 平面的点法式方程 过M0(x0,y0,z0)，法矢为n?{A,B,C}的平面方程： A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 Ax?By?Cz?D?0 xyz???1 abc点M0(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离：d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222 两平面的夹角?：cos??A1A2?B1B2?C1C2A?B?C212121 （?1：空间直线及其方程 参数方程 一般方程 对称式方程 A1x?B1y?C1z?D1?0，?2：A2x?B2y?C2z?D2?0） ?{m,n,p}的直线方程： 对称式方程和一般方程的关系： 过M0(x0,y0,z0)，方向矢为sx?x0y?y0z?z0??mnp is?A1A2jB1B2kC1C2 ?A1x?B1y?C1z?D1?0 ??A2x?B2y?C2z?D2?0x?mt?x0 , y?nt?y0 , z?pt?z0 ?s1?s2s1s2?m1m2?n1n2?p1p2m?n?p212121两直线的夹角?： cos?m?n?p222222 （L1的方向矢s1直线和平面的夹角?：sin??{m1,n1,p1}，L2的方向矢s2?{m2,n2,p2}） ?mA?nB?pCm?n?p222?n?snsA?B?C222 （直线L： x?x0y?y0z?z0??mnp，L的方向矢为s?{m,n,p}； 平面?：Ax?By?Cz?D?0），?的法矢为n?{A,B,C} 平面束方程（L为一般方程式）：
A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2y?C2z?D2)?0 习题7-6
★ 1． 求通过点(2,4,?3)且与平面2x?3y?5z?5平行的平面方程。
知识点：平面及其方程
思路：已知平面上的一点和平面的法矢，可求出平面方程
解：∵所求平面?与已知平面2x?3y?5z?5平行，∴?的法矢n?{2,3,?5}，
由平面的点法式方程可得?：2(x?2)?3(y?4)?5(z?3)?0?2x?3y?5z?31
★2．求过点M0(2,9,?6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。
知识点：平面及其方程
??????解：∵所求平面?与OM0垂直，∴?的法矢n?OM0?{2,9,?6}，又?过点M0(2,9,?6)，
∴?：2(x?2)?9(y?9)?6(z?6)?0?2x?9y?6z?121
★★3．求过点M1(1,1,2) , M2(3,2,3) , M3(2,0,3)三点的平面方程。
思路：根据条件，平面过已知点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。
解：∵所求平面?过三点M1(1,1,2) , M2(3,2,3) , M3(2,0,3)，∴平面?的法矢n应满足：
n?M1M2 , n?M1M3∴可选择n，M1M2?{2,1,1} , M1M3?{1,?1 , 1}；
j1k1?2i?j?3k，
i?M1M2?M1M3?21?11∴?：2(x?1)?(y?1)?3(z?2)?0?2x?y?3z?5?0
注：三点M1(1,1,2) , M2(3,2,3) , M3(2,0,3)组成的任意两个向量的向量积都可作为平面?的法矢n
★★4．平面过原点O，且垂直于平面?1:x?2y?3z?2?0，?2: 6x?y?5z?2?0求此
平面方程。
思路：根据条件，已知平面过原点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。 解：设所求平面?和已知平面?1、?2的法矢分别为n、n1、n2，
i∵?jk??1，???2，∴n?n1，n?n2?n?n1?n2?123?13i?13j?13k
6?15?{1,1,?1}，∴?：x?y?z?0
可选择?的法矢n★★5．指出下列各平面的特殊位置：
（1）x（5）
?1； （2）3y?2?0； （3）2x?3y?6?0； （4）x?3y?0；
y?z?2； （6）x?2z?0； （7）6x?5y?z?0。
答：（1）该平面平行于yoz面；（2）该平面平行于xoz面；（3）该平面平行于z轴；
（4）该平面平行于z轴且过原点，即过z轴；（5）该平面平行于x轴；（6）该平面平行于y轴且过原点，即过y轴（7）该平面过原点
★★6．求平面2x?2y?z?5?0和各坐标轴的夹角余弦
知识点：平面及向量的方向余弦
解：∵平面2x?2y?z?5?0的法矢n?{2,?2, 1}，∴和x、y、z轴的夹角余弦分别为：
221cos?? , cos??? , cos??
333★★★7．已知
A(?5,?11 ,3) , B(7,10,?6)和C(1,?3 ,?2)，求平行于?ABC所在的平面且与它的距
离等于2的平面方程。
思路：可先借鉴本单元的习题3，求出过A,B,C的平面的法矢，也是所求平面的法矢。
解：设所求平面?的法矢为n，n?(AB)?AC?413ijk7?3??11i?2j?10k
68?5D?0，有条件?ABC所在的平面与?的距离等于2
?2?D??27 or 33
∴设?的平面一般方程为：11x?2y?10z?∴点C 到平面的距离d?11?2?(?3)?10?(?2)?D11?2?10222∴?的方程为：11x?2y?10z?33?0 或 11x?2y?10z?27?0
★★8．确定k的值，使平面
x?ky?2z?9适合下列条件之一：
?3垂直； （3）与3x?7y?6z?1?0平行；
（1）经过点(5,?4 , ?6)； （2）与2x?4y?3z（4）与2x?3y?z?0成
?角； （5）与原点的距离等于3； （6）在y轴上的截距为?3。 4解：（1）平面x?ky?2z?9经过点(5,?4 , ?6)，∴点代入平面方程可得：k?2
（2）平面x?ky?2z ∴n1?9与平面2x?4y?3z?3垂直，∴两平面的法矢n1 ,n2垂直，
?n2?2?4k?6?0?k?1
?9与平面3x?7y?6z?1?0平行，两平面的法矢n1 ,n2平行
（3）平面x?ky?2z∴n1//n2?3??767??k?? k23（4）平面x?ky?2z??9与平面2x?3y?z?0成
2?3k?25?k?142??角，两平面的法矢n1 ,n2夹角为 44
2?∴cos(n1,n2)?2（5）平面x?ky?2z?270?k??22?9与原点的距离等于3，∴
95?k2?3?k??2
（6）平面x?ky?2zxyz?9在y轴上的截距为?3，根据平面的截距式方程：???1
99/k9/(?2)?9/k??3?k??3
★9．求点(1,2,1)到平面
x?2y?2z?10?0的距离。
解：根据点到平面的距离公式：d?1?2?2?2?101?2?222?1
★★★10．求平行于平面
x?y?z?100且与球面x2?y2?z2?4相切的平面方程。
思路：所求平面?//平面x?y?z?100，所以可知?的法矢，由?与球面相切的条件又可知球心
到平面的距离。
解：∵所求平面?//平面x?y?z?100，∴?的法矢n?{1,1,1}，设?的方程为：
x?y?z?D?0，∵?与球面相切，∴球心到平面的距离为球半径10，
∴d?D3?2?D??23??：x?y?z?23?0
x?2y?2z?21?0与7x?24z?5?0的夹角的平分面的方程。
★★★11．求平面
知识点：平面与平面的夹角、点到平面的距离
思路：两平面的夹角平分面上的点应满足到两平面的距离相等
解：设所求平面?上的动点坐标(x,y,z)，∵?是平面x?2y?2z?21?0与平面
7x?24z?5?0的夹角的平分面，∴(x,y,z)到两平面的距离相等，于是：
x?2y?2z?213?7x?24z?525?25(x?2y?2z?21)??3(7x?24z?5)，
?2x?25y?11z?270?0, or 23x-25y?61z?255?0