（3）x2?y2?4在平面解析几何中表示xoy面上，原点为心、半径为2的圆线，在空间解析几何中表
2示准线为xoy面上的圆线x（4）x2?y2?4，母线平行于z轴的圆柱面。
?y2?1在平面解析几何中表示xoy面上的双曲线，在空间解析几何中表示准线为xoy面上的
2双曲线x?y2?1，母线平行于z轴的双曲柱面。
★★7．说明下列旋转曲面是怎样形成的：
x2y2z2y22???1； （2）x??z2?1； （3）x2?y2?z2?1。 （1）4994知识点：旋转曲面
222x2y2z2x2(?y?z)???1可变化为解：方程??1，∴方程表达的是：xoy坐标面上的49949x2y2??1绕x轴旋转一周所得的旋转曲面 曲线49x2y2z2x2z2???1也可看作是：xoz坐标面上的曲线??1绕x轴旋转一周所得的旋注：方程49949转曲面
★★8．指出下列各方程表示哪种曲面：
（1）x2?y2?2z?0； （2）x2?y2?0； （3）x2?y2?0
2x2y2??1 （4）y?3z?0； （5）y?4y?3?0； （6）
916y2?1； （8）x2?4y； （9）z2?x2?y2?0 （7）x?92答：（1）方程表达开口向着z轴正向的圆抛物面（或旋转抛物面）
（2）x（3）x2?y2?0?x?y或x??y，∴表达两个垂直于xoy面的平面：x?y；x??y ?y2?0?x?0,y?0∴表示z轴
2（4）平行于x轴且经过yoz面上的直线（5）
y?3z?0的平面
y?3和y?1这两个平行于xoz坐标面的平面
x2y2??1，母线平行于z轴的椭圆柱面 （6）准线为xoy坐标面上的椭圆
916y2?1，母线平行于z轴的双曲柱面 （7）准线为xoy坐标面上的双曲线x?92（8）准线为xoy坐标面上的抛物线x2?4y，母线平行于z轴的抛物柱面
（9）yoz坐标面上的直线
y?z绕z轴旋转一周所得的圆锥面
习题7-5
★★★1．画出下列曲线在第一象限内的图形：
（1）??x?2 ； （2）??z?9?x2?y2； ?y?4???x?y?0解（1）
z4y2x7-5-1-（1） （2） z z?9?x2?y2 y 0 x?y x 7-5-1-（2）
）??x2?y2?a23?x2?z2?a2（
（3）
z 0 xy x7-5-1-（3）
?y?5x?2★★2．方程组?在平面几何与空间解析几何中各表示什么？
y?2x?5?答：方程组??y?5x?2在平面几何中表示两条直线的交点，在空间解析几何中表示垂直于
?y?2x?5xoy坐标面
的两平面的交线。
?x2y2???1在平面几何与空间解析几何中各表示什么？
★★3．方程组?49??x?2?x2y2???1在平面几何中表示一个点（2，0），在空间解析几何中表示椭圆柱面
答：方程组?49??x?2?x?2x2y2??1和平面x?2的交线：?。 49?y?0★★4．求曲面
x2?9y2?10z与yoz平面的交线。
?x2?9y2?10z?9y2?10z解：yoz平面方程为x?0，∴交线为? ??x?0??x?0?2x2?y2?z2?16★★5．分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线?的柱面方程。
222?x?z?y?0知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线
?2x2?y2?z2?16解：要求过曲线?2且母线平行于x轴的柱面方程，只要方程组消去变量x
22?x?z?y?0∴所求柱面方程为3y2?z2?16
?2x2?y2?z2?16要求过曲线?且母线平行于y轴的柱面方程，只要方程组消去变量y
222x?z?y?0?∴所求柱面方程为3x2?2z2?16
★★6．求曲线?x?z?1 在xoy面上的投影方程。 222x?y?z?9??x?z?1 在xoy面上的投影方程，只需方程组消去变量z 222?x?y?z?9?2知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线 解：要求曲线?∴所求柱面方程为：x?y2?(1?x)2?9?2x2?y2?2x?8
★★7．求曲线?y?z?1?0 在xoz面上的投影方程。 22?x?z?3yz?2x?3z?3?0?y?z?1?0 在xoz面上的投影方程，只需方程组消去变量y 22?x?z?3yz?2x?3z?3?0?解：要求曲线??x2?4z2?2x?3?0∴所求投影方程为：?
y?0??x2?y2?z2?9★★★8．将曲线? 化为参数方程。
y?x?22222思路：若将y?x代入x?y?z?9，可得2x?z?9，因此可通过椭圆方程的参数式求出曲
线的参数式。
22222解：将y?x代入x?y?z?9，可得2x?z?9，该方程可用参数式表达为：
?32x?cos??2??22232?x?cos?，∴曲线?x?y?z?9的参数式为?y?32cos????22y?x????z?3sin??z?3sin???
?(x?1)2?y2?(z?1)2?4★★★9．将曲线的一般方程? 化为参数方程。
z?0?解：将z?0代入(x?1)2?y2?(z?1)2?4，?可得：(x?1)2?y2?3，
?x?1?3cos?该圆方程的参数式为：??y?3sin?222，
?x?1?3cos??(x?1)?y?(z?1)?4?∴曲线? 的参数方程为：?y?3sin?z?0??z?0?★★10．指出下列各方程组表示什么曲线：
。
?x2?y2?z2?20?x2?4y2?9z2?36?x?2?0（1）? （2）? （3）?
z?2?0y?1?y?3?0???x2?4y2?4z?x2?4y2?8z（4）? （5）?
y??2z?8??答：（1）两平面的交线，该直线平行于z轴
（2）表示球面x2?y2?z2?20与平行于xoy面的平面z?2的交线，为一在z?2平面上的圆线：
?x2?y2?16 ??z?2（3）表示单叶双曲面
x2?4y2?9z2?36和y?1平面的交线，为一在y?1平面上的椭圆线：
?x2?9z2?40 ?y?1?（4）表示双曲抛物面（即马鞍面）x2?4y2?4z与y??2平面的交线，为一在y??2平面上的抛
?x2?16?4z物线：?
?y??2（5）表示双曲抛物面（即马鞍面）x2?4y2?8z与z?8平面的交线，为一在z?8平面上的双曲线：
?x2?4y2?64 ?z?8?★★★11．求旋转抛物面
z?x2?y2(0?z?4)在三坐标面上的投影。
知识点：曲面的投影和空间区域的投影
解：见图7-5-11，