习题7-7
, 2)且平行于直线★1．求过点(3,?1知识点：直线的对称式方程
x?3z?1?y?的直线方程。 43x?3z?1?y?，∴L的方向矢s?{4,1,3}，又已知L过点(3,?1 , 2) 43x?3y?1z?2??∴L： 413解：所求直线L//直线
★2．求过两点M1(2,?1 , 5)和M2(?1 , 0,6)的直线方程。
知识点：直线的对称式方程
解：∵所求直线L过两点M1(2,?1 , 5)和M2(?1 , 0,6)，L的方向矢s可取为
s?M1M2?{?3, 1, 1}，∴L：
x?2y?1z?5?? ?311★★3．用对称式方程及参数方程表示直线??2x?y?3z?2?0。
?x?2y?z?6?0?2x?y?3z?2?0，则L的方向矢s和两平面的法
?x?2y?z?6?0知识点：直线的各种表达式之间的转换 解：∵直线L表达为两平面交的一般方程形式：?矢都垂直，∴s?2x?y?2?0?2?1?3?7i?j?5k，取L上的一点：令z?0??
?x?2y?6?012?1ijk214x?2/5y?14/5z?( , , 0)，∴L的对称式方程：??，
557?15x?2/5y?14/5z214L的参数方程：???t?x?7t?,y??t?,z?5t
7?1555★★4．证明两直线??x?2y?z?7?3x?6y?3z?8与?平行。
?2x?y?z?72x?y?z?0??ijk?x?2y?z?72?1?3i?j?5k 证明：根据上一题解答可知直线L1?的方向矢s1?1??2x?y?z?7?211直线L2?3x?6y?3z?82?1??3i?j?5k ?s1??s2， 的方向矢s2?1?2x?y?z?0?2?1?1ijk∴L1//L2
★★★5．求过点(1,2 , 1)且与两直线??x?2y?z?1?0?2x?y?z?0和?都平行的平面方程。
?x?y?z?1?0?x?y?z?0?x?2y?z?1?0?2x?y?z?0和L2：?的方向矢
x?y?z?1?0x?y?z?0??思路：所求平面?和两直线平行，则说明?的法矢和两直线的方向矢都垂直。 解：设所求平面?的法矢为n；两直线L1：?分别为s1,s2。 ∵?//L1，?//L2?n?s1, n?s2?n?s1?s2，其中
ijkis1?1j2k1ij1k1?1?i?2j?3k , s2?2?11??j?k，
1?111?1∴n?s1?s2?1?2?3?i?j?k，
0∴?：(x?1)?(y?2)?(z?1)★★6．求过点(0, 2 , 4)且与两平面
?0?x?y?z?0
x?2z?1和y?3z?2平行的直线方程。
思路：所求直线L与两已知平面平行，所以L的方向矢和两平面的法矢都垂直。
解：设所求直线L的方向矢为s，两平面?1：x?2z?1和?2：y?3z?2的法矢分别为n1,n2
i∵L//?1 , L//?2jk2??2i?3j?k，
?s?n1,s?n2?s?n1?n2?1001?3∴L：
xy?2z?4?? ?231x?4y?3z??的平面方程。 521x?4y?3z??的方向矢s，s?{5,2,1} 5211 , ?2)且通过直线★★★7．求过点(3, 思路：易知：已知点不在直线上，所以通过点和直线的平面方程和通过三点的平面方程的求法相似。 解：设所求的平面?的法矢为n，直线L：
∵L在?上，∴n?s；
取直线上的一点M(4,?3, 0)，和已知点M0(3, 1 , ?2)组成向量MM0?{?1, 4,?2}，
i易知：njk?MM0?n?s?MM0?521??8i?9j?22k， ?14?2∴?：?8(x?3)?9(y?1)?22(z?2)?0??8x?9y?22z?59?0
★8．求直线??x?y?3z?0与平面x?y?z?1?0的夹角。
?x?y?z?0?x?y?3z?0的方向矢为s，平面?：x?y?z?1?0的法矢为n，直线L与
?x?y?z?0k3?2i?4j?2k , n?{1,?1, ?1} ，可取s?{1,2,?1}
知识点：直线与平面的夹角 解：设直线L：?平面?的夹角为?。
i则sj1?11?1?1∴sin??cos(n,s)??n?sns?0???0?L//?
★★9．试确定下列各组中的直线和平面间的关系：
x?3y?4zxyz??和4x?2y?2z?3； （2）??和3x?2y?7z?8； ?2?733?27x?2y?2z?3??（3）和x?y?z?3。 31?4（1）
思路：通过直线和平面的夹角即可确定它们的关系
解：在每道小题中都设直线L的方向矢为s，平面?的法矢为n，直线L与平面?的夹角为?。
则（1）s?{?2, ?7, 3},n?{2,?1, ?1}?sin??cos(s,n)??s?nsn?0?L//?，
又L上的点(?3, ?4, 0)不满足4x?2y?2z?3，∴L不在?上，∴L//?
?（2）s?{3, ?2, 7},n?{3,?2, 7}?sin??cos(s,n)??s?nsn?1?L??
（3）s?{3, 1, ?4},n?{1,1, 1}?sin??cos(s,n)?s?nsn?0?L//?
又L上的点(2, ?2, 3)满足x?y?z?3，∴L在?上。
, 2, 0)在平面★★★10．求点(?1x?2y?z?1?0上的投影。
思路：根据点在平面上的投影的定义可知求投影点的过程：（1）过点作平面的垂线；（2）垂线和平面的
交点（即投影点）
解：过点M(?1 , 2, 0)作平面?：x?2y?z?1?0的垂线L，设L的方向矢为s，平面?的法
?x?t?1x?1y?2z????t??y?2t?2， 矢为n，则可选s?n，∴L：12?1?z??t?将L的参数方程代入?求出L和?的交点（即投影点）M0：
(t?1)?2(2t?2)?(?t)?1?0?t??★★★11．设M0是直线
2522?M0?(? , , ) 3333?L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点M0到
直线L的距离d?MM0?ss。
知识点：向量积和空间直线及其方程
思路：画简图可知：距离d是由M、M0以及当把s的起点放在M时的终点坐标M1三点组成的三角
形底边MM1上的高，见图7-7-11
M0 dM LsM1 图7-7-11
解：设当把s的起点放在M时s的终点坐标为M1，d即为?M0MM1底边MM1上的高
根据向量积的性质可知?M0MM1的面积S??MM0?s，又S?1sd2
∴d?MM0?ss ★★★12．求直线L:??x?y?z?1?0在平面?:x?y?z?0上的投影直线方程。
?x?y?z?1?0方法一：可根据求投影直线的过程逐步求得：（1）求过直线L垂直于?的平面?1；（2）?与?1的
交线即为L在?上的投影直线。
解：过L的平面束方程为x?y?z?1??(x?y?z?1)?0
?(1??)x?(1??)y?(??1)z???1?0，此平面束中和?垂直的平面应满足：
(1??)?(1??)?(??1)?0????1，
∴过直线L垂直于?的平面?1：x?y?z?1?(x?y?z?1)?0?y?z?1，
∴L在平面?上的投影直线方程为：??x?y?z?0
y?z?1?方法二：可通过求L和?的交点以及L的方向矢写出所求投影直线的对称式方程
?x?y?z?1?011?解：L和?的交点M0(x,y,z)满足：?x?y?z?1?0?M0(0, , ?)
22?x?y?z?0?iL的方向矢s?1jk1?1??2j?2k，设?的法矢为n， 1?11则L和它的投影直线组成平面的法矢n1满足：n1投影直线的方向矢s1应满足：s1∴投影直线方程：
?s且n1?n?n1?n?s??j?k
?s且s1?n1?s1?n1?s?2i?j?k
xy?0.5z?0.5?? 21?113．已知直线L:??2y?3z?5?0，求：
?x?2y?z?7?0?y?3z?8?0上的投影直线方程。
★（1）直线在yoz平面上的投影方程； ★（2）直线在xoy平面上的投影方程； ★★★（3）直线在平面?:x解：（1）由曲线在坐标面上投影知识可知：L:??2y?3z?5?0 中消去x，
?x?2y?z?7?0可得L在yoz面上的投影：??2y?3z?5?0
x?0?注：也可参照习题12的方法做
（2）L:??2y?3z?5?0?3x?4y?16?0中消去在，可得L在xoy面上的投影：?
z?0?x?2y?z?7?0??0
注：也可参照习题12的方法做
（3）过L的平面束方程为2y?3z?5??(x?2y?z?7)??x?(2?2?)y?(3??)z?7??5?0，此平面束中和?垂直的平面应满足：
??(2?2?)?3(3??)?0?无解，说明这些平面都不垂直于?，过L且不在平面束方程中的平