上海工程技术大学毕业设计（论文） 谐波小波与近似熵相结合的噪声分析
及其位子因子b或x的数值，可以调节时频窗口的形状，位置，从而提取所感兴趣的频带和时段内的信号成分。实际应用中，通常将小波函数的参数a,b值限定在一些离散点格上，如固定参数的展缩步长ao>1,平移步长bo≠0，则所选用的小波函数族成为如下形式，对m，n∈Z，有：
ΨM,N＝ao-m/2Ψ（ao-mx-nbo）
即对应如下参数选取：
a＝aom 且 b＝nboaom
这里的平移参数b依赖与所选取的展缩速率。对于大而正的m，振荡函数Ψm，n则平铺展开，相应地大的平移步长boaom对应这一展宽形式:而对于大且负的m则情况相反，函数Ψm，n则变得十分集中紧密，所以需小的平移步长boaom来覆盖整个域。对应着离散小波形式的“离散小波变换”T有如下形式:
（Tf）m，n＝<Ψm,n , f>=ao-m/2∫Ψ(ao-mx-nbo)f(x)dx
2如果Ψ是允许小波，即满足允许条件?n?(?)??d???且具有足够的哀减性，
那么T是从L2(R)到L2(Z2)的映射。
离散小波变换的基本原理：离散小波变换将信号在不同的时间和 频率的多个尺度上进行分解的目的是力求构造一个在频率上高度逼近Lz因空间的正交小波基，这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。在实际应用中，各小波分析专家从不同角度构造了离散小波变换的不同小波算法。主要有：离散二进正交小波，离散二进小波算法，小波包的算法。
在后面实际应用中，一般将用使用复morlet小波（Complex morlet）。 它也是一类和谐波小波相近的复小波，它的定义为：
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Ψ（x）＝1/（pi*fb）1/2*e2ipifexe-x2/fb
式中，参数fb是带宽参数；fe是小波中心频率。图2.12为复morlet小波的实部与虚部的波形图（这里定义带宽和中心频率为fb＝1.5，fc＝1）：
[程序见附录6]
图2.12 复morlet小波的实部与复morlet小波的虚部
由于复小波的实部与虚部是正交的，即信号f(t, y)的复小波变换实际上是将信号f(t,y)沿两个正交空间分别同时作实小波变换，所得到的系数实部及虚部无疑将包含信号f(t, y)在这两个空间中的信号分量信息，而实小波变换得到的系数实部只有原信号f (t,y)在一个空间中的信号分量信息;同时，复小波变换还得到了两个正交空间中的信号分量间的独特关系信息arctan(IWT/RWT)。这样，在原信号f(t,y)中唯一正交信号分量t与Y的关系arctan(y/t)就通过复小波变换传递到了变换后的系数的相位arctan(IWT/RWT)中。
复小波变换后的系数的幅值信息MWT及相位信息QWT为:
MWT=（ RWT2+IWT2）1/2 QWT=arctan(I WT / R WT)
由原信号f(t,y)的相位为arctan(y/t) 可知，复小波变换系数的QWT相位信息也是局放信号相位在其给定基函数下展开后的相位信息。总之，复小波变换后的系数，也同样反映了被分析信号同其基函数的相似程度，MWT幅值与QWT相位综合反映了它们的相似程度。目前，实验一般采用的小波主要为以下几种:Morlet复连续小波(线性相位)，Chaari复小波(线性相
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位)，Mallat样条小波(线性相位)，Daubechies正交紧支小波(非线性相位)，B样条双正交紧支小波(线性相位)。除Chaari复小波是根据所要分析的信号特点构造的唯一小波外，其它小波都是其它领域的研究人员构造出来的。
现有的复小波的构造方法主要有以下两种方法：
(1) 以正交紧支实小波为基础构造复小波的方法 (2) 以正交或双正交实小波生成复小波的方法
本文中实例验证将用以复morlet小波为主的复小波变换来分析振动信号。
为了更好地说明复小波在实际信号分析中的作用，下面所引用的是一个利用db10 实小波派生的复小波对用模拟仿真局部放电及模拟干扰的信号和实验室模拟实测信号进行分析的实例[5]： 局放信号模拟函数为：
S＝8E+172*e-t/(2.5e-3)*cos(2Л*1E+6*t)
周期性干扰模拟函数为：
S1＝80sin（2*pi*t）
考虑到局放的相位较小，故采用复小波变换系数后的综合信息MR2/Q 作为特征值。从图2.13中被周期性干扰淹没的局部放电信号的分析结果在图2.14中清楚地看出，被周期性干扰完全淹没的局放信号经复小波变换，二尺度变换系数的幅值MWT、变换系数的实部RWT 与相位QWT 构成的综合信息MWT·RWT2/QWT 提取出了局放信号特征。
图2.13 被周期性干扰淹没的局部放电信号
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图2.14 在二尺度下复小波变换系数的特征值MR2/Q
下面仍用上述中的模拟原始信号，白噪干扰用高斯随机噪声模拟，分析结果如图2.16中含白噪干扰的局部放电信号所示。从图2.15中含白噪干扰的局部放电信号中可以看出：完全被白噪淹没的局放信号经复小波变换后，在二尺度下的系数的综合信息QWT·QWT/RWT 同样提取出了局放信号特征。同样用上述中模拟的局放原始信号，以实验室实测沿面油中局放信号（圆柱-绝缘板-板，绝缘板厚1.5mm，直径48mm，采样频宽为1.2MHz）为背景干扰，分析结果如图2.18中被脉冲干扰淹没的局放信号所示。从图2.18中信号四尺度下的复小波变换系数的RIQ可以看出：油中沿面放电与原纯信号混合经复小波变换后，在四尺度下的系数的综合信息RWT·IWT·QWT 中，原模拟局放信号的特征突显出来了。
图2.15 含白噪干扰的局部放电信号
图2.16 含白噪干扰的局部放电信号信号二尺度下复小波变换系数的QQ2/R
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图2.17 被脉冲干扰淹没的局放信号 图2.18 被脉冲干扰淹没的局放信号的信
号四尺度下的复小波变换系数的RIQ
3 小波包与近似熵相结合的复杂振动信号特征提取
3.1 小波包与近似熵相结合的原理
对不同的机械振动信号而言, 某些故障具有一定的敏感频带, 当故障发生时该频带内的振动信号会发生较大的变化, 因此, 一般期望通过比较振动信号在不同运行时期和不同运行状态下各频带内近似熵值的变化, 有效地监测故障的发生和发展, 并对振动波形长期运行趋势做出相应的预测。
作为非平稳信号分析的一种有效手段, 小波包变换已被广泛应用到振动信号故障诊断领域来, 而且小波包可以将信号中不同的分量无冗余、无疏漏、正交地分解到不同尺度下的不同频带内, 从而实现信号频带的划分且总能量是守恒的。设原始振动信号时间序列为X（j），j＝0，1，...No,No是数据长度，xl,I(i),j=0，1，... Ni,Ni是小波包分解第l次后所得到的2l个频带的信号序列，其中Ni＝2－l *No。若原始信号的采样频率为fs＝1$t，则Xli(j)的采样时间间隔增加为2t$t，其频带范围为：[2-i(t-1)fs/2, 2-Ii* fs/2],i=1,2…, 2-I,这些频带相互衔接、不重叠、不疏漏, 完整地保留了原始信号在各个频带内的信息. 由于每次分解后采样频率和带宽都减半, 而带通信号的采样频率决定于其带宽, 并不决定于其上限频率, 所以小波包分
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