定理6.1 空集是一切集合的子集。
右边的蕴涵式因前件假而为真命题，所以
A也为真。
A
x(x∈
→x∈A)
证：任何集合A，由子集定义有
推论 空集是唯一的。
根据集合相等的定义，有
1
1
2
证：假设存在空集
，
1
和
2
，由定理6.1有
21
。
＝
2
。
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元素的子集叫做它的m元
子集。任给一个n元集，怎样求出它的全部子集呢？举例说明如下。 例6.1 A＝{1,2,3}，将A的子集分类：
0元子集，也就是空集，只有一个：
1元子集，即单元集：{1}，{2}，{3}；
2元子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；
3元子集：{1,2,3}。
一般地说，对于n元集A，它的0元子集有
个，1元子集有
个，…，m
；
元子集有
个，…，n元子集有个。子集总数为
+++…+＝2n 个。
定义6.5 设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集，记作P(A)(或
PA，2A)。
幂集的符号化表示为
P(A)＝{x|x
A}
对于例6.1中的集合A有
P(A)＝{
，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}
不难看出，若A是n元集，则P(A)有2n个元素。
定义6.6 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集
合为全集，记作E。
全集是有相对性的，不同的问题有不同的全集，即使是同一个问题也可以取不同的全集。例如在研究平面上直线的相互关系时，可以把整个平面(平面上所有点的集合)取作全集，也可以把整个空间(空间上所有点的集合)取作全集。一般地说，全集取得小一些，问题的描述和处理会简单些。
6.2 集合的运算
一．集合的基本运算
集合的基本运算有并，交，相对补和对称差。
定义6.7 设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，B对A的相对
补集A－B分别定义如下：
A∪B＝{x|x∈A∨x∈B }
A∩B＝{x|x∈A∧x∈B }
A－B＝{x|x∈A∧xB }
由定义可以看出，A∪B是由A或B中的元素构成，A∩B由A和B中的公共元素构成，A－B由属于A但不属于B的元素构成。例如
A＝{a，b，c}，B＝{a}，C＝{b，d} 则有
A∪B＝{a，b，c}，A∩B＝{a}，A－B＝{b，c}，
B－A＝
如果两个集合的交集为的。
两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} 上述的并和交可以推广成n个集合的并和交：
，则称这两个集合是不相交的。例如B和C是不相交，B∩C＝
＝A1∪A2∪…∪An
＝A1∩A2∩…∩An
并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况：
＝A1∪A2∪…
＝A1∩A2∩…
定义6.8 设A，B为集合，A与B的对称差集A
A
例如A＝{a，b，c}，B＝{b，d}，则A
对称差运算的另一种定义是
A
B＝(A∪B)－(A∩B) B＝(A－B)∪(B－A)
B定义为：
B＝{a，c，d}。
可以证明这两种定义是等价的，证明可留作练习。
在给定全集E以后，A
E，A的绝对补集～A定义如下：
定义6.9 ～A＝E－A＝{x|x∈E∧x
A}
因为E是全集，x∈E是真命题，所以～A可以定义为
～A＝{x|xA }
例如E＝{a，b，c，d}，A＝{a，b，c}，则～A＝{d}。
以上集合之间的关系和运算可以用文氏图(Venn Diagram)给予形象的描述。文氏图的构造方法如下：
首先画一个大矩形表示全集E(有时为简单起见可将全集省略)，其次在矩形内画一些圆(或任何其它的适当的闭曲线)，用圆的内部表示集合。不同的圆代表不同的集合。
如果没有关于集合不交的说明，任何两个圆彼此相交。图中阴影的区域表示新组成的集合。图6.2就是一些文氏图的实例。
二．有穷计数集
使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。一般地说，每一条性质决定一个集合。有多少条性质，就有多少个集合。如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的，然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内。通常从n个集合的交集填起，根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。如果交集的数字是未知的，可以设为x。根据题目中的条件，列出一次方程或方程组，就可以求得所需要的结果。
例6.2 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。其统计结果如下：会
英、日、德和法语的人分别为13，5，10和9人，其中同时会英语和日语的有2人，会英、德和法语中任两种语言的都是4人。已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分别求只会一种语言(英、德、法、日)的人数和会三种语言的人数。
解 令A，B，C，D分别表示会英、法、德、日语的人的集合。根据题意画出文氏图如图6.3所示。设同时会三种语言的有x人，只会英、法或德语一种语言的分别为y1，y2和y3人。将x和y1，y2，y3填入图中相应的区域，然后依次填入其它区域的人数。