(A
A
A
A
B＝A
C
B＝C (6.33)
A＝
(6.32) ＝A (6.31) B)
C＝A
(B
C) (6.30)
式6.29～6.33是关于对称差运算的算律，前四条可通过对称差的定义加以证明，最后一条叫做消去律，它的证明给在下面。
例6.13 已知A
A
主要内容
B＝AC，证明B＝C。
证 已知A
B＝AC，所以有
(AB)＝A(AC)
(AA)B＝(AA)C (由式6.30)
B＝C (由式6.32)
B＝C (由式6.29)
B＝C (由式6.31)
1. 集合，相等，（真）包含，子集，空集，全集，幂集 2. 交，并，（相对和绝对）补，对称差，广义交，广义并 3. 文氏图，有穷集计数问题
4. 集合恒等式（等幂律，交换律，结合律，分配律，德·摩根律，吸收律，零律，同一
律，排中律，矛盾律，余补律，双重否定律，补交转换律等）
学习要求
1. 熟练掌握集合的子集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表示 2. 熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、广义交、广义并的定义及其性
质
3. 掌握集合的文氏图的画法及利用文氏图解决有限集的计数问题的方法 4. 牢记基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、收律、零
律、同一律、排中律、矛盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）
5. 准确地用逻辑演算或利用已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式
典型习题
1. 证明 A-B=A 2. 证明 A-B=
A∩B=A
B 。 A∪B=B
A∩B=A 。
3. 设A,B为集合，试确定下列各式成立的充分必要条件： 4. 判断下列命题是否为真。 5. 设A={},B=PP(A)，问下列各题是否为真。 6. 判断下列命题的真假。 7. 在下列各题中，如果命题为真，请给出证明；如果命题为假，请给出反例。 8. 证明(A-B)-C = (A-C)-(B-C)。 9. 对60个学生参加课外活动的情况进行调查。结果发现，25人参加物理小组，26人参加化学小组，26人参加生物小组。9人既参加物理小组又参加生物小组，11人既参加物理小组又参加化学小组，8人既参加化学小组又参加生物小组。8人什么小组也没参加，回答下列各问题：
内容与要求1. ｜ 典型习题 。 证明 A-B=A A∩B= 提示 参看基本集合恒等式，集合恒等式证明技巧。 答案 必要性。假设A∩B≠属于A但是x不 属于A-B。与A-B=A矛盾。 充分性。显然A-BA∩B=矛盾。 A-B。命题得证。 A。任取x∈A，则如果x属于B，则x属于A∩B，与，必有x属于A∩B，则x属于A同时属于B，即x因此x必不属于B，即x属于A-B。从而证明了A分析 参看答案。 提示2. ｜ 答案 ｜ 分析 A ｜ 返回B ｜ 上一道 ｜ 下一道 证明 A-B=A∪B=B A∩B=A 。 提示 参看基本集合恒等式，集合恒等式证明技巧。 答案 证明过程如下： A-B= AB A∪B=B A∩B=A A-B= 。 ① ② ③ ④ ① ①矛盾。 ②
② 假设AB，即存在x属于A但不属于B，则x属于A-B，与A-B=
③ 显然BA∪B，反之，任取x，
x∈A∨x∈B
x∈B∨x∈B
x∈A∪B
x∈B 因此A∪B ③
B。命题得证。 ④ 显然A∩B
A，任取x，
x∈A∪B
x∈B
A∩B。命题得证。
A∩B，与④矛盾。
x∈A 因此x∈A ④
x∈A∧x∈B
x∈A∩B。从而有A
① 假设存在x∈A-B，x∈A∧xB，即x∈A∧x
分析 参看答案。 提示 ｜ 答案 ｜ 分析 ｜ 返回 ｜ 上一道 ｜ 下一道 3. 设A,B为集合，试确定下列各式成立的充分必要条件： （1）A-B=B （2）A-B=B-A （3）A∩B=A∪B （4）A B=A 提示 参看集合的基本运算，包含，文氏图。 答案 (1) A=B= (2) A=B; (3) A=B; (4) B=. ; 分析 与前面求解的问题不同，找出集合等式成立的充分必要条件的问题是比较灵活的 应用问题。求解这类问题可能用到集合的算律、不同集合之间的包含关系、甚至文氏 图等。具体求解过程可以说明如下。 （1）由A-B=B得 (A∩~B)∩B = B∩B 化简得B=。再将这个结果代入已知等式得A=。从而得到必要条件A=B==B也成立。 。 下面验证充分性。如果A=B= 成立，则A-B = （2）充分性是显然的，下面验证必要性。由A-B = B-A得 (A-B)∪A = (B-A)∪A 从而有A=A∪B，即A （3）充分性是显然的，下面验证必要性。由A∩B=A∪B得 A∪(A∩B) = A∪(A∪B) 化简得 A=A∪B，从而有A （4）充分性是显然的，下面验证必要性。由A A根据结合律有 (A即 B。同理可证BA。 B。类似可以证明BA。 B=A得 (AB) = AA A)B = A。 A B=，就是B= 提示 ｜ 答案 ｜ 分析 ｜ 返回 ｜ 上一道 ｜ 下一道 习题
1.选择适当的谓词表示下列集合：答案
(1)小于5的非负整数