几何综合题
在2006-2011年北京中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。
在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。
一.考试说明要求（与几何内容有关的“C”级要求）
图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。
图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线
解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例：
A1、与相似及圆有关的基本图形 A B'B'C'A AB'AB' B'C'C'B'C' CBCBBO O BCCBC AAA A EDEDCF OBCD DBDCBCE OCOA C C'AOCBBEDAGF第1页（讲稿版）
BFEB
2、正方形中的基本图形
3、基本辅助线
（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；【参见(一)1；（二）1；西城中考总复习P57例6】*
（2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；【参见(一)2、3、4、5】*
（3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折； 转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；【参见(一)6,7,8,9】 （4）特殊图形的辅助线及其迁移——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等【参见．．．．(一)7】
作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数 平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形 平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。（P5——2006北京，25*）??
注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。
三.题目举例
在几何综合题解题教学中，建议可以分为以下三个阶段：
第一阶段：基本图形、辅助线等的积累——在讲授综合题目前，搭配方法类似的中档题，或者给有阅读材料（小问递进启发）的综合题目，给学生入手点的启发。注重提升学生的迁移能力，培养转化数学思想方法。
第二阶段：反思与总结——引导学生在解题遇到困难时，记录思维卡点，分析问题所在；注重一题多解，并注重各种解法的可迁移性；在解题后，能够抽离出题目的基本型，将题目的图形，方法进行归类整理。 第三阶段：综合能力的提升——学生在遇到综合问题时能够联想到之前的经验，形成所谓的“几何感觉”。此时练习可以综合性较强的题目为主，要注重书写过程时抓住要点，简明有条理性。
(一)基本图形与辅助线的添加 #角平分线（【类】P5——2006北京，23；西城中考总复习P57-例6） 1、（2010宣武一模，23）已知： AC平分?MAN
（1）在图1中，若?MAN?120?，?ABC??ADC?90?，AB?AD___AC。（填写“?”或“?”或“?”）
（2）在图2中，若?MAN?120?，?ABC??ADC?180?，则（1）中结论是否仍然成
第2页（讲稿版）
立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）在图3中：
①若?MAN?60?，?ABC??ADC?180?，判断AB?AD与AC的数量关系，并说明理由；
?ABC??ADC?180?，②若?MAN??(0????180?)，则AB?AD?_____AC（用
含?的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）
23.解：(1) AB＋AD = AC．--------------------------------------------------------------------------1分 (2) 仍然成立．
证明：如图2过C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F， 则∠CEA=∠CFA=90°．
∵ AC平分∠MAN，∠MAN=120°， ∴ ∠MAC=∠NAC=60°．
又∵ AC=AC， ∴ △AEC≌△AFC， ∴ AE=AF，CE=CF．
∵ 在Rt△CEA中，∠EAC=60°， ∴ ∠ECA=30°， ∴ AC=2AE．
∴ AE+AF=2AE=AC． ∴ ED+DA+AF=AC． ∵ ∠ABC＋∠ADC＝180°，∠CDE+∠ADC=180°， ∴ ∠CDE=∠CBF．
又∵ CE=CF，∠CED=∠CFB， ∴ △CED≌△CFB． ∴ ED=FB， ∴ FB+DA+AF=AC．
∴ AB+AD=AC．----------------------------------------- 4分 (3)①AB+AD=3AC．
证明：如图3，方法同(2)可证△AGC≌△AHC． ∴AG=AH．
∵∠MAN=60°， ∴∠GAC=∠HAC=30°． ∴AG=AH=3AC．∴AG+AH=3AC．
2∴GD+DA+AH=3AC． 方法同(2)可证△GDC≌△HBC． ∴GD=HB， ∴ HB+DA+AH=3AC．
∴AD+AB=3AC．-------------------------------------------------------------------------------------6分 ②AB＋AD＝2cos?·AC．-------------------------------------------------------------------7分
2MEDACNFBMGCDAHBN
中位线/中线*2、（2010海淀一模，25）已知：△AOB中，AB?OB?2，△COD中，
第3页（讲稿版）
CD?OC?3, ∠ABO?∠DCO. 连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.
B
AMOB AMOPPNDNCDC图1 图2 AD?________； BC(1) 如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO?60?，则△PMN的形状是________________，此时
(2) 如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO?2?，证明△PMN∽△BAO，并计算
AD的值（用含?的式子表示）； BC(3) 在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值.
第4页（讲稿版）
#直角三角形斜边中线3、（2011海淀一模，25）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设CF?kEF，则k = ； （2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，
求线段CF长度的最大值．
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