(3)CF－BE= AD ???????????????8分
由特殊形解题启发构造哪些相等的角3、（2011南京，27）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
⑴ 图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过
点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点． ⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
A A A
D P E B C B C B C ① ② ③
(三) 一题多解与题目的变式及类题
DC1、*（西城中考总复习P64例5）点M为正方形ABCD的边AB（或延长线
上）任一点（不与A，B重合），?DMN?90?，射线MN与?ABC的外角平分线交于点N，求证：DM=MN.
AMB【变式】
A、方法类比，改变图形
A（1）等边三角形ABC中，在BC边上任取一点D（不与A，B重合）， 作 ?ADE?60?， DE交∠C的外角平分线于E，判断△ADE的形状，并证明。若D是射线BC上任一点，上述结论是否成立?
（2）(2008西城一模，25)如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上，BCDNEE?FMH?120?,MH与六边形?ABC外角的平分线BQ交于H点.
①当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH;
②当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时,猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明. B、改变背景
（3）（2011密云一模，24）如图，边长为5的正方形OABC的顶点
FEDCQHAMBNyCBGPO在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AC交于点P.
（1）当点E坐标为(3，0)时，试证明CE?EP；
FOE
A（2）如果将上述条件“点E坐标为（3，0）”改为“点E坐标为（t，0）（t?0）”，结论
CE?EP是否仍然成立，请说明理由；
第16页（讲稿版）
（3）在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，请证明；若不
存在，请说明理由.
A D2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF
＝45°，求证：EF＝BE＋FD． 【变式】方法类比，特殊到一般 FA削弱题目条件（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝
CAD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的BED点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FFD是否仍然成立？若成立，请证明；请写出它们之间的数量关系，并证明.
改变图形（2）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC
BEC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE
＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
3、旋转特殊角度转移线段，比较线段大小（求最值）（2011房山一模，25）已知：等边三角形ABC
（1） 如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间
的数量关系,并证明你的猜想；
（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD
A A
BPBP图1 CC图2 D【类题】1、（2011丰台一模，25）已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:
（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的
C∠ACB的度数.
DC
AB
ABC
DBAD
图1 图2 图3
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25．解：（1）33；????????????????1’ （2）36?32； ????????????????2’
（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，
∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB= a， ∴△CDE为等边三角形，
∴CE=CD. ????????????????4’ CC
B EABA
E
D
D当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE
当点E、A、C在一条直线上时， CD有最大值，CD=CE=a+b；
此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，????????7’ 因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a+b.
启发构造三角形转移线段2、（2009西城一模，25）已知：PA?2，PB?4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长； （2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应∠APB的大小.
3、*（学探诊P42-15）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，点E为CD的中点，点F在底边BC上，且∠FAE=∠DAE．
（1）请你通过观察、测量、猜想，得出∠AEF的度数；（1）的方法多样（垂线段，倍长，中位线）但是其中有的不好迁移到后面，需要在多种方法中选取
（2） 若梯形ABCD中，AD∥BC，∠C不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如图2、图
3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．
图1 图2 图3
【类题】（2011平谷一模，24）已知点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，C是直线n上一点，且∠ABC=90°，点E在AC的延长线上,BC＝kAB (k≠0).
（1）当k＝1时，在图（1）中，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F.，写出线段EF
与EB的数量关系，并加以证明；
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（2）若k≠1，如图(2)，∠BEF＝∠ABC，其它条件不变，探究线段EF与EB的数量关系，并说明理由．
（1） （2）
(四) 方法的综合应用
1、（2007北京，23）如图，已知△ABC．
（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连结AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并．．．．．表示出面积相等的三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB?AC?AD?AE．
ABC2、（2010年北京，25）问题：已知△ABC中，?BAC=2?ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究?DBC与?ABC度数的比值。 B 请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当?BAC=90?时，依问题中的条件补全右图。 观察图形，AB与AC的数量关系为 ；
当推出?DAC=15?时，可进一步推出?DBC的度数为 ； 可得到?DBC与?ABC度数的比值为 ； AC(2) 当?BAC?90?时，请你画出图形，研究?DBC与?ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
3、（2010西城二模，24）在△ABC中，点P为BC的中点．
（1）如图1，求证：AP＜
1（AB+AC）； 2（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连结DE．
①如图2，连结BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
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②请在图3中证明：BC≥
1DE． 2 4、（2011北京中考，24）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。
（1）在图1中证明CE?CF；
（2）若?ABC?90?，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若?ABC?120?，FG∥CE，FG?CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。
DDAA
D A
CCECE BEBB
GFFG F
(五)动点问题与分类讨论 不确定性引发分类讨论 (1)等腰三角形顶角顶点； (2)相似三角形对应点；
(3)已知两点（三点）+限制条件定平行四边形（特殊梯形）； 注意：分类不重不漏；动点问题定界点。
由位置的不确定引发的分类讨论1、（2011上海，25）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=
12． 13（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关
于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
图1 图2 备用图
由图形的不确定引发的分类讨论，相似2、（2010密云一模，25）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，
DC?5，BC?10，梯形的高为4．动点M从B点出发
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