AAA
DEEDFFCB图1
CB图2CB备图25． 解：（1）k=1； ………….……………………………2分
（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.
由题意，tan∠BAC=
1BCDE1，∴ ??. 2ACAE2A∵ D、E、B三点共线，∴ AE⊥DB.
∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°, ∴ ∠QBC=∠EAQ. ∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°， ∴ ∠ECA=∠BCG. ∴ △BCG∽△ACE. ∴
DEQFGCBCGB1??. ∴ GB=DE. ACAE2B图2∵ F是BD中点， ∴ F是EG中点. 在Rt△ECG中，CF?（3）情况1：如图，当AD=
1EG, ∴ BE?DE?EG?2CF. 2……………………5分
1AC时，取AB的中点M，连结MF和CM， 31D∵∠ACB=90°， tan∠BAC=，且BC= 6, 2∴AC=12，AB=65.
∵M为AB中点，∴CM=35, A1AC， 3∴AD=4.
∵AD=
∵M为AB中点，F为BD中点， ∴FM=
MF1AD= 2. 2CB∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=2?35.6分
2情况2：如图，当AD=AC时，取AB的中点M，
3连结MF和CM，
类似于情况1，可知CF的最大值为4?35. …7分 综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的
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ADMFCB
三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4?35.………8分
#直角三角形斜边中线+四点共圆（【类】西城中考总复习P61-17）*4、已知：在△ABC中，∠ABC=90?, 点E在直线AB上, ED与直线AC垂直, 垂足为D，且点M为EC中点, 连接BM, DM.
（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足
的数量关系, 并直接写出你得到的结论； （2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出 你的猜想并加以证明;
（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM
与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系. BB
EMADCDDEEAAMMCCB图1 图2
#倍长过中点的线段5、（2008年北京，25）请阅读下列材料：
P是线段DF问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，
的中点，连结PG，PC．若?ABC??BEF?60?，探究PG与PC的位置关系及值．
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
C C D D
G P P F
G F B A
E A B
图2 E 图1
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
PG的PCPG的值； PC（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中?ABC??BEF?2?(0????90?)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任
PG的值（用含?的式子表示）． PCPG解：（1）线段PG与PC的位置关系是 ；? ．
PC意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出
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25．解：(1)线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；
PG?3． PC(2)猜想：(1)中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长GP，交AD于点H，连结CH、CG． ∵P是线段DF的中点， ∴FP＝DP．
由题意可知AD∥FG． ∴∠GFP＝∠HDP． 又∵∠GPF＝∠HPD， ∴△GFP≌△HDP． ∴GP＝HP，GF＝HD． ∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠HDC＝∠ABC＝60°．
由∠ABC＝∠BEF＝60°，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，可得∠GBC＝60°．
∴∠HDC＝∠GBC．∵四边形BEFG是菱形， ∴GF＝GB．∴HD＝GB．∴△HDC≌△GBC． ∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG．
∴∠DCH＋∠HCB＝∠BCG＋∠HCB＝120°．
即∠HCG＝120°．∵CH＝CG，PH＝PG，∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°．
?PG?3． PCPG?tan(90???)． (3)PC
第25题答图
#共端点的等线段，旋转6、（2010西城一模，24）如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，tanB?2.
（1）求证：AD=AE；
（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.
求证：DF?EF?2AF；
（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作
EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写
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出你的结论.
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A D
A
D A D
F B
E
图1
C
B P
E
图2
C
B E
图3
C
24．证明：（1）在Rt△ABE中，∠AEB=90°， ∴
tanB?AE?2 BEA H 1 D
∴AE?2BE． ································································ 1分 ∵E为BC的中点，
∴BC?2BE．
F 2 ∴AE=BC. ∵ABCD是平行四边形， C B P E ∴AD=BC.
图8 ∴AE=AD. ·························································································································· 2分 （2）在DP上截取DH=EF（如图8）．
∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC， ∴∠EAD=90°． ∵EF⊥PD，∠1＝∠2， ∴∠ADH=∠AEF． ∵AD=AE，
∴△ADH≌△AEF． ······························ 4分 ∴∠HAD=∠FAE，AH=AF． ∴∠FAH ==90°．
在Rt△FAH中， AH=AF，∴FH?2AF．
∴FH?FD?HD?FD?EF?2AF． 即DF?EF?H
A D B
E
2AF．
P C F
5分
图9
（3）按题目要求所画图形见图9， 线段DF、EF、AF之间的数量关系为：DF?EF?2AF．
利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线7、（2006年北京，25）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两
边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
25．解：（1）略．写对一种图形的名称给1分，最多给2分．
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．
已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC?BD，
且?AOD?60．
求证：BC?AD≥AC．
证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE?AC． 连结CE，BE．
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