最新中小学教案、试题、试卷
培优点十五 平行垂直关系的证明
1．平行关系的证明
例1：如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点． 求证：
（1）EG∥平面BB1D1D； （2）平面BDF∥平面B1D1H．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】证明（1）如图，取B1D1的中点O，连接GO，OB，
1OG，所以四边形BEGO为平行四边形，故OB∥EG， 因为OG∥B1C1∥BE，所以BE∥2因为OB?平面BB1D1D，EG?平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D． （2）由题意可知BD∥B1D1．连接HB，D1F，
D1F，所以四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF 因为BH∥又B1D1IHD1=D1，BDIBF=B，所以平面BDF∥平面B1D1H．
2．垂直关系的证明
例2：如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1?底面ABC，M为棱AC的中点．AB=BC，AC=2，AA1=2．
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（1）求证：B1C∥平面A1BM； （2）求证：AC1?平面A1BM；
（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N?平面AA1C1C？如果存在，求此时值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，
BN的BB11． 2【解析】（1）证明：连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM．
在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1的中点，∴OM∥B1C， 又∵OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM，∴B1C∥平面A1BM． （2）证明：∵侧棱AA1?底面ABC，BM?平面ABC，∴AA1?BM， 又∵M为棱AC的中点，AB=BC，∴BM?AC． ∵AA1AC=A，AA1，AC?平面ACC1A1，∴BM?平面ACC1A1，∴BM?AC1
∵AC=2，∴AM=1．又∵AA1=2，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，
tan?AC1C?tanA1MA?2，
∴?AC1C＝?A1MA，
即?AC1C??C1AC??A1MA??C1AC?90?，∴A1M?AC1 ∵BMA1M?M，BM，A1M?平面A1BM，∴AC1?平面A1BM．
BN1?时，平面AC1N?平面AA1C1C BB12（3）解：当点N为BB1的中点，即
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证明如下：
设AC1的中点为D，连接DM，DN，∵D，M分别为AC1，AC的中点，∴DM∥CC1，
1且DM?CC1．又∵N为BB1的中点，∴DM∥BN，且DM?BN，
2∴四边形BNDM为平行四边形，∴BM∥DN，
∵BM?平面ACC1A1，∴DN?平面AA1C1C．又∵DN?平面AC1N， ∴平面AC1N?平面AA1C1C．
对点增分集训
一、单选题
1．平面?外有两条直线m和n，如果m和n在平面?内的射影分别是m1和n1，给出下列四个命题：①m1?n1?m?n；②m?n?m1?n1；③m1与n1相交?m与n相交或重合；④m1与n1平行?m与n平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ） A．1 【答案】D
【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体ABCD?A1B1C1D1中：
B．2
C．3
D．4
对于说法①：若取平面?为ABCD，m1，n1分别为AC，BD，m，n分别为A1C，BD1，
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满足m1?n1，但是不满足m?n，该说法错误；对于说法②：若取平面?为ADD1A1，m1，
n1分别为A1D1，AD1，m，n分别为A1C1，BD1，满足m?n，但是不满足m1?n1， 该说法错误；对于说法③：若取平面?为ABCD，m1，n1分别为AC，BD，m，n分别为
AC1，BD1，
满足m1与n1相交，但是m与n异面，该说法错误；对于说法④：若取平面?为ADD1A1，
m1、n1分别为A1D1，AD，m、n分别为A1C1，BC，满足m1与n1平行，
但是m与n异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．本题选择D选项． 2．已知m、n为两条不同的直线，?、?为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若l?m，l?n，且m，n??，则l??
B．若平面?内有不共线的三点到平面?的距离相等，则?∥? C．若m??，m?n，则n∥? D．若m∥n，n??，则m?? 【答案】D
【解析】对于选项A，若l?m，l?n，且m，n??，则l不一定垂直平面?，∵m有可能和n平行， ∴该选项错误；
对于选项B，若平面?内有不共线的三点到平面?的距离相等，则?、?可能相交或平行，∴该选项错误；
对于选项C，若m??，m?n，则n有可能在平面?内，∴该选项错误；
对于选项D，由于两平行线中有一条垂直平面?，则另一条也垂直平面?，∴该选项正确，故答案为D．
3．给出下列四种说法：
①若平面?∥?，直线a??，b??，则a∥b； ②若直线a∥b，直线a∥?，直线b∥?，则?∥?； ③若平面?∥?，直线a??，则a∥?；
④若直线a∥?，a∥?，则?∥?．其中正确说法的个数为（ ）
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A．4个 【答案】D
B．3个 C．2个 D．1个
【解析】若平面?∥?，直线a??，b??，则a，b可异面；
若直线a∥b，直线a∥?，直线b∥?，则?，?可相交，此时a，b平行两平面的交线； 若直线a∥?，a∥?，则?，?可相交，此时a，b平行两平面的交线； 若平面?∥?，直线a??，则a与?无交点，即a∥?；故选D．
4．已知m、n为两条不同的直线，?、?为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
（1）m??，n??，m∥?，n∥???∥? （2）n∥m，n???m??
（3）?∥?，m??，n???m∥n（4）m??，m?n?n∥? A．0个 【答案】B
【解析】由m??，n??，m∥?，n∥?，若a，b相交，则可得?∥?，若a∥b，则?与
B．1个
C．2个
D．3
?可能平行也可能相交，故（1）错误；
若m∥n，n??根据线面垂直的第二判定定理可得m??，故（2）正确； 若?∥?，m??，n??，则m∥n或m，n异面，故（3）错误； 若m??，m?n，则n∥?或n??，故（4）错误；故选B．
5．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列命题正确的是（ ）
A．MN∥AP
B．MN∥BD1 D．MN∥平面BDP
C．MN∥平面BB1D1D