西城区教育研修学院·初一数学研修活动 2014.4.3
第十一章 《三角形》 教材分析
北师大实验中学 黄荣
一、本章内容的地位与作用：
三角形是几何最基本的图形之一，是研究其它复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个
内角之和为定值，边与角之间有密切的联系，反映三角形的边与角关联的基本知识有：三角形三边关系定理及推论、三角形的内角和定理及推论等，它们在线段、角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用。
二、本章主要内容、重点、难点及数学思想
1．重点：
画任意三角形的高、中线、角平分线，三角形三边关系，三角形的内角和定理及推论，多边形的内角和与外角和公式． 2．难点：
画钝角三角形的高，三角形三边关系的应用，三角形的内角和定理及推论的应用． 3．基础知识：
与三角形有关的线段，有关的角，多边形的有关概念，多边形的内角和与外角和公式． 4．基本技能：
会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，会画出任意三角形的高、中线、角平分线．会证明三角形内角和定理及推论，能灵活运用三角形的边与角知识进行线段、角度的计算。 5．基本的数学思想：
类比的思想（如多边形的有关概念可类比三角形的有关概念给出）；方程的思想（计算三角形的边、角时常用）；转化的思想（如多边形的内角和转化为三角形的内角和，三角形的内角和转化为平角或同旁内角）；数形结合的思想（以数定形，以形驭数）；建模的思想（从实际问题中建立三角形的模型，如：方位角）；分类讨论的思想（如给出等腰三角形的两个边，应对哪个边是腰进行分类）．
6．基本实践活动（如镶嵌等）．
三、数学课程标准对本章的要求：
1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。 2.探索并证明三角形内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形任意两边的和大于第三边。 3.了解三角形重心的概念。
4．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。掌握两个锐角互余的三角形是直角三角形。
四、三角形在中考中的要求
1.基本要求：
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了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边或角对三角形进行分类；理解三角形内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的重心. 了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。掌握两个锐角互余的三角形是直角三角形。 2.略高要求：
会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题； 会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能依据条件分解与拼接简单图形。
五、新旧教材对比： 节 课时 新教材主要内容 旧教材主要内容 引言 本章内容介绍 本章内容介绍 整体没变，文字上略有变化，并强调本章要通过推理和证明来获得三角形的相关结论 11.1与11. 1.1三角形1．三角形三边关系 三角形三边关系 三角形的边 2．三角形按边分类（在正文中新增、（关于分类，在正文有关的提法有变化按角分类也放到正文中的边上的云朵中提示大线段 思考部分，提升了分类整合的要求） 家总结） 3．有例题（新增了对边的关系运用能力的训练，培养学生分类思想和用三边关系检验结论的基本技能） 11. 1.2.三角形1．三角形的高、中线与角平分线的概三角形的高、中线与的高、中线与角念 角平分线的概念 平分线 2．三角形的重心（新增） 11.2与11. 2.1三角形1．三角形的内角和定理的证明 1．三角形的内角和定三角形的内角 2．直角三角形的两锐角互余（新增） 理的证明 有关的3．有两个角互余的三角形是直角三角2．例题一道 角 形（新增） 4．例题三道（新增两道） 11. 2.2三角形1．三角形的外角定义 1．三角形的外角定义 的外角 2．三角形的外角等于与它不相邻的两2．三角形的外角等于 个内角的和 与它不相邻的两个内 3．例题一道（新增） 角的和 4．习题-复习巩固中有十一道习题（新3．三角形的一个外角增两道） 大于与它不相邻的任何一个内角（新教材已删掉） 4．习题复习巩固中有九道例题 阅读与思考---为什么要证明（新增）
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西城区教育研修学院·初一数学研修活动 2014.4.3 11.3多11. 3.1多边形 多边形及有关概念 多边形及有关概念 边形及其内角和 11. 3.2多边形1．多边形的内角和定理 1．多边形的内角和定的内角和 2．多边形的外角和定理 理 3．数学活动内容是镶嵌 2．多边形的外角和定理 3．课题学习内容是镶嵌 4．数学活动内容是木棍拼图（新教材已删掉） 小结 回顾与内容---内容详细，对学生的学习回顾与内容---内容简 具有指导性 单。 章总复 习题十二道（新增四道） 习题十道（其中两道习 新教材已删掉） 六、知识结构图
三角形的边 三角形三边关系 正 多 与三角形有高 垂心 边 关的线段 形 中线 重心 对角线 三 角角平分线 内心 线段 多边 形 形 三角形内角和 多边形内角和 与三角形有 关的角 角 三角形外角和 多边形外角和
七、课时安排
本章教学时间约需8-9课时，具体分配如下（仅供参考）： 11.1 与三角形有关的线段 3课时 11.2 与三角形有关的角 2课时 11.3 多边形及其内角和 2课时 小结与复习 1-2 课时
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八、总的教学建议：
1． 加强与实际的联系，从实践中来到实践中去.
三角形有很多重要的性质，如稳定性，三角形的内角和等于180o．学生可以通过观察、实验体会这些性质，明白在工程建筑、机械制造中经常采用三角形结构的道理，并解决与求角有关的实际问题．
2．加强与已学内容的联系，但要学会用新的知识解决问题．
学生在前两个学段已学过三角形的一些知识，对三角形的许多重要性质有所了解，在第三学段又学过线段、角以及相交线、平行线等知识，初步了解了一些简单几何和平面图形及其基本特征，会进行简单的说理．
上述内容是学习本章的基础：三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关；用拼图的方法认识三角形的内角和等于180o，可以启发学生得出证明这个结论正确的方法，关键是拼接结果中蕴含了添加辅助线的方法，而证明的过程中要用到平行线的性质与平角的定义．关注本章内容与已学内容的联系，有助于学生掌握本章所学内容．另一方面，通过本章内容的学习，学生又可以进一步丰富对图形的认识和感受，同时复习巩固已学的内容．
3．加强推理能力的培养．
在本章中加强推理能力的培养，一方面可以提高学生已有的水平，另一方面又可以为学生正式学习证明作准备。
4．把握好教学要求．
与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到了解（认识）的程度就可以了，进一步的要求可通过后续学习达到。如在本章中知道什么是三角形的角平分线就可以了，如学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，就直接肯定这个结论，对这个结论的证明在后面学习“全等三角形”一章时再介绍．同样，三条中线交于一点的结论也可直接点明，同时要让学生认识这个点是三角形的重心．
九、内容安排简单介绍
●11.1.1三角形的边
1．定义三角形、三角形的边、顶点、内角等概念： cb (1) 由不在同一条直线上的三条线段 首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 说明：三个条件缺一不可。 (得到封闭图形) CBa (2) 三角形的边、顶点、内角(简称三角形的角)
图1
(3) 表示：①△ABC
②顶点A所对的边a = ∠A所对的边a = ∠A的对边(让学生说∠B、∠C的对边) ∠A、∠B、∠C的邻边 2．三角形的分类（按边分；按角分） 3．三边关系
(1) 问：是任意的三条线段，都可以实现首尾顺次相接组成三角形吗？ (2) 用两点之间线段最短证明三边关系定理 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 表示：a?b?c，a?c?b，b?c?a 推论：三角形任意两边之差小于第三边.
表示：a?b?c,a?c?b,b?a?c,b?c?a, c?a?b,c?b?a
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例1．一个等腰三角形的周长为18cm．
（1）已知腰长是底边的2倍，求各边长；（3.6cm、7.2cm、7.2cm） （2）已知其中一边长4cm，求其他两边长．（7 cm、7cm） 例2．（1）若三角形三边分别为3，x－2，5，求x的范围；（4 （2）若三角形两边长为5和7，求最长边x的取值范围；（7≤x<12） （3）等腰三角形腰长为3，求周长l的范围．（6 ●11.1.2三角形的高、中线与角平分线 这是三角形中重要的三种线段，教学时始终应坚持对文、图、式的把握. 1．高，小学时已有接触，结合所学的垂线的画法，首先让学生画出各类三角形的三条高，从而去理解概念的合理性和严密性。 A AAF FF CDEB O C(O)BBDCEO (1) 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作的垂线段，叫做这条边上的高. (2) 图：应注意标垂足和直角符号，是线段. (3) 表示：如，AD是△ABC的边BC上的高. (4) 说明：①不同的三角形，三条高的位置不同； ②三条高所在的直线交于一点(垂心)，位置各不相同. ③可出一些变式题，让学生思考. 书写格式：①∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC（或∠ADB＝90o，或∠ADC＝90o） ②∵△ABC中，AD⊥BC于D（或∠ADB＝90o，或∠ADC＝90o） ∴AD是△ABC的高． 2．三角形的中线 (1) 定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做这条边上的中线. (2) 图：中点 中线 (3) 表示：AD是△ABC的中线 = AD是△ABC中BC边上的中线 = D是边BC的中点 (4) 说明：①三角形的中线一定在形内； ②三条中线共点(重心)，一定在形内.(可让学生做模型体会重心) ③三角形的中线可以将三角形分成两个面积相等的三角形，同时在将来的学习中， 中线也有很重要的用处.(如倍长中线) A书写格式：①∵AD是△ABC的中线（ ） 1∴ ＝ ＝ （ ） 2②∵ ＝ （ ） ∴AD是△ABC的中线（ ） FOBDEC5