西城区教育研修学院·初一数学研修活动 2014.4.3
3．三角形的角平分线
(1) 定义：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点与交点的线段，叫做三角形这个内角的平分线.
A (2) 图：射线 线段
(3) 表示：AD是△ABC的角平分线
FE (4) 说明：①三角形的角平分线一定在形内；
O ②三条角平分线共点(内心)，一定在形内.
CB ③三角形的角平分线(线段) ≠ 角的平分线(射线) D书写格式：①∵AD是△ABC的角平分线（ ）
∴∠ ＝∠ ＝
1∠ （ ） 2A②∵∠ ＝∠ （ ）
M∴AD是△ABC的角平分线（ ）
例1．如图所示,CM是△ABC的中线, △BCM的周长比△ACM的周长大3cm, BC=8cm,求AC. BC
例2．在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线。已知∠BAC＝88°，∠B＝55°，求∠DAE的大小.
●11.1.3 三角形的稳定性
1．组织学生通过实验去感受三角形的稳定性和四边形的不稳定性，发现收集生活中的应用实例； 2．如何使不稳定的多边形变得稳定（多边形的三角形拆分）；
3．可向学生说明，三角形的稳定性是可以严格证明的.(利用全等三角形的“边边边”判定)
A例1．已知：△GEF，分别作出此三角形的高GH，中线EM，角平分线FN．
E
例2．如图，AD、BE分别是△ABC的高，AD=4，BC=6，AC=5． 求BE的长．（
24） 5BADC例3．（1） 画出△ABC的中线AD、BE交于M点，分别量一量线段
EAM和MD、线段BM和ME的长，从中你能发现什么结论？
MA（AM=2MD，BM=2ME，三角形的重心分中线的比为2:1）
CBD
FE（2）画出△ABC的角平分线BE、CF交于O点，请量一量点O到△ABC三边 O的距离，从中你能发现什么结论？（相等．内心到三角形三边的距离相等） B
A（3） 将一个三角形各边的中点顺次连结可得到一个新的三角形，通常将它称为“中 点三角形”，如图，△DEF是△ABC的中点三角形．通过观察，你发现△DEF的三边
DF与原△ABC的三边有怎样的位置关系（例如DE与AC）？（平行）通过度量，你又
发现△DEF的边及角与原△ABC的边及角之间有怎样的数量关系（例如DE与AC， ∠A与∠DEF）？（△DEF的边是△ABC对应的边的
C1；它们对应的角相等） 2BE6
C 西城区教育研修学院·初一数学研修活动 2014.4.3
●11.2.1 三角形的内角
本节的重点是证明和熟练运用“三角形内角和为180?”. 1．让学生回忆小学所学过的这个定理，引导他们证明.
2．在证明的过程中，一定要充分地向学生展示分析的思路，并体会各种证法异同点. 3．可让学生利用内角和定理证明“直角三角形的两个锐角互余”、“有两个角互余的三角形是直角三角形。
例1．在△ABC中，∠A-∠B=∠B-∠C=15°，求∠A、∠B、∠C． C(∠A=75°，∠B=60°，∠C=45°) 北例2如图，C岛在A岛的北偏东50°的方向，B岛在A岛的北偏东80°的方D向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？（90?）
A
●11.2.2 三角形的外角
1．三角形的外角的实质就是内角的邻补角.
外角的特征：(1) 顶点是三角形的一个顶点；(2) 一条边就是三角形的边；(3) 另一边是三角形某边的延长线.
2．应该有一些基本的判断题和问题，帮助学生理解外角的概念，如： (1) 判断下列图中∠1、∠2是三角形的外角吗？
1 21
(2) 问：三角形每个顶点处有几个外角，它们之间有什么关系？(向学生说明我们考虑外角的原则) (3) 三角形的外角中至少有多少个钝角？若一个三角形的三个外角都是钝角，则这个三角形是什么三角形？
3．由邻补角的定义和三角形内角和定理推导外角的性质定理. (1) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(2) 三角形的外角和为360?.(可利用上面外角的性质(1)，以及内角和定理证明；也可以用邻补角的定义，以及内角和定理证明) A例1．已知：如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，
E∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求（1）∠BDC的度数(97°)
D（2）∠BFD的度数（63°)
EF
BC例2．已知：如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， A且CE交BA的延长线于点E．证明：∠BAC>∠B．
DBC
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北EB 西城区教育研修学院·初一数学研修活动 2014.4.3
A例3．如图，试探究∠A+∠B+∠C与∠ADC之间的关系，并说明理由．
（相等．证明略）
D BC●11.3.1 多边形
1．本节的教学，要以三角形为基础，可以仿照三角形建立多边形的有关概念，如多边形、多边形的边、内角、外角、内角和、外角和等都可同三角形类比，让学生理解这些概念。
2．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.如果这个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.（n≥3，且n为整数） 说明：
(1) 为什么多边形的概念中要提到“在平面内”，而三角形却不必强调；
(2) 三角形是最简单的多边形，因此很多有关多边形的问题都应转化为三角形来研究，同时它也一般不叫做“三边形”.
3．介绍如何辨别凹凸多边形，并强调我们研究的类型.
4．对角线是多边形(n>3)所特有的概念，它的重要之处是将多边形的问题转化为三角形的问题来解决，此处可以引申讲解一些问题，如：
(1) 从n边形的任一顶点，可以引多少条对角线，它们将多边形分成了几个三角形；
(2) n边形一共有多少条对角线？(
n(n?3)，数的方法一定要抓住概念中“不相邻的两个顶点”2来考虑)
5．正多边形的概念一般说来必须同时满足“各边相等”和“各角相等”，只有三角形例外，满足其一即可. 说明：
(1) 只满足“各边相等”的反例：菱形； (2) 只满足“各角相等”的反例：矩形.
●11.3.2 多边形的内角和
A5A5A4A4一．多边形的内角和定理
1．通过对多边形内角和公式的探究和推导，让学生充分的体
A3An会三角形在研究多边形问题的过程中所发挥的重要作用，在探AnO究的过程中应让学生充分的讨论，发现不同的证法. A1A1A2A2A5A5说明：可以将各种证法统一起来，即点O在不同的位置.
A4A4 2．利用内角和以及邻补角的定义，推导外角和公式，引导学生体会变与不变的关系. AnA3An练习：1．正八边形的内角和是多少度？它的每一个内角是多
A1A1A2A2O少度？（1080°；135°）
2．一个多边形的内角和等于1800°，则它是几边形？（十二）
二．多边形的外角和定理
多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360° n?180??(n?2)?180??360?
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A3OA3 西城区教育研修学院·初一数学研修活动 2014.4.3
练习：1.多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于多少度？（720°）
2.多边形的每个内角都等于140°，则这个多边形为几边形？对角线共有多少条？（九；27） 例题选讲 例1．（1）如图1，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=_________°；（360）
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=_________°．（360）
811 227
6363
5 445
图1 图2
例2.如图3，猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°请说明你猜想的理由．
如果把图3称为2环三角形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；图4称为2环四边形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H，则2环四边形的内角和为_________°；2环五边形的内角和为_________°；2环n边形的内角和为_________°． （360；720；1080；360（n-2））
A B EAEBF
H FGDD CC 图3 图4 例3．（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005o，求多边形的边数．（13．提示： 2005÷180=11??25，n-2=11，n=13）
（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570?，求这个没有计算在内的内角的度数. （130o ．提示： 2570÷180=14??50，180o-50o =130o） 例4．若多边形最多有四个钝角，那么此多边形的边数最多是______.
（七．提示：从外角考虑，外角中最多有三个钝角，加上四个锐角，最多有七个外角）
三角形习题课
例题选讲
例1（1）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12和15的两部分，求三角形各边的长．（8,8,11或10,10,7）
（2）已知：在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，求△ABC各边的长．（
AD141420cm，cm，cm333B
C或6cm，6cm，4cm）
练习：已知：在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差
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为4cm的两个三角形，求△ABC各边的长.（
例2（相关练习：《诊断》p10第18题）
（1）如图6，若P为△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB平分线的交点， ?A?70?,求?P的度数。 AB（2）（相关练习：《诊断》p11第20题）
如图，若P为△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB平分线的交点， BC?A?n?,求?P的度数。
E
（3）（相关练习：《诊断》p11第19题） P如图，若P为△ABC内角∠ABC平分线和外角∠ACE平分线的交点， ?A?58?,求?P的度数。
B 例3（《诊断》单元测验第24题） 如图，?ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H作HG?AC，垂足为G，那么?AHE=?CHG吗？为什么？
A
例4（变式训练：《诊断》p12第23题）
如图,在?ABC中，AD、AE分别是?ABC的高和角平分线. （1） 若?B=30°，?C=50°，求?DAE的度数. （10°）
B（2） 试问?DAE与?C-?B有怎样的数量关系？说明理由.
C例5（变式训练：《诊断》p11第21题） 如图，已知线段AD、BC相交于点Q，DM平分?ADC，BM平分?ABC，M且?A=30°，?M=34°，求?C的度数.（38°）
练习：（变式训练：《诊断》单元测验第25题）
如图所示，已知?1??2，?3??4，?C?30?，?D?26?， 求?P的度数.（28°）
补充练习： ※三角形的边
1．下列各组线段能组成三角形的是（ ）．
A．5cm，8cm，12cm B．2cm，3cm，6cm C．3cm，3cm，6cm D．4cm，7cm，11cm
A20208cm，cm，cm或4cm，4cm，8cm（舍）） 333AP图6CFAPCEBFHDEGACEDCDQBCA1234PBD2．已知三角形的两边的长分别为2cm和7cm，设第三边的长为x cm，则x的取值范围是( )．
A.2＜x＜7 B.5＜x＜7 C.5＜x＜9 D.7＜x＜9
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