张家港市舞蹈学校领舞导学案 备课人：陶广忠 第一轮复习
第6题：
21 21
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18、向量的概念
一、考试要求：
理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.
二、知识要点：
1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.
2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段
的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段???AB?表示向量时,我
们就说向量???AB?.另外,在印刷时常用黑体小写字母a、b、c、?等表示向量;手写时可写作
带箭头的小写字母?a、b?、?c、?等.
与向量有关的概念有:
(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量?a和b?同向且等长,即?a和b?相等,记作?a=b?.
(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作?0.零向量的方向不确定.
(3) 相反向量:与向量?a等长且方向相反的向量叫做向量?a的相反向量,记作??
a.显然,
?a?(??a)?0?.
(4) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量.
(5) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即
这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量?a平行于向量b?,
记作?a∥b?.零向量与任一个向量共线(平行).
三、典型例题：
例:在四边形ABCD中,如果???AB?????DC?且
│ ???AB?│ ?│ ???BC?│ ,那么四边形ABCD是哪种四边形? 四、归纳小结：
共线向量(平行向量)是方向相同或相反的向量,可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.
五、基础知识训练： （一）选择题：
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1.
????AA??????BB?是四边形ABB?A?是平行四边形的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
2. 设与已知向量?a等长且方向相反的向量为b?,则它们的和向量?a??b等于( )
A.0 B.?0 C.2?a D.2b?
（二）填空题： 3.
下列说法中: (1)???AB?与???BA?的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不
一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同 (4)长度相等的两个向量必共线。错误的说法有 .
4. 下列命题中: (1)若
∣∣?a?a?????a??b??=0,则=0. (2)若∣∣=a∣∣b,则a?b或.(3)若a?与b是平行向量,则∣∣=?a∣∣?b. (4)若?a??0,则??a??0. 其中正确的命题是 (只填序号). （三）解答题：
5. 如图,四边形ABCD于ABDE都是平行四边
形.
(3) 若???AE???a,求???DB?;
(4) 若???CE???b,求???AB?;
(5) 写出和???AB?相等的所有向量; (6)
写出和???AB?共线的所有向量.
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19、 向量的加法与减法运算
一、考试要求：
掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则.掌握向量加法的交换律与结合律. 二、知识要点：
??1. 已知向量a、b,在平面上任取一点A,作
????????????????????AB?a,BC?b,作向量AC,则向量AC叫做向量a与b的和
量同起点,差向量是由减向量指向被减向量.
3. 任一向量等于它的终点向量减去它的起点向量(相对于一个基点). 五、基础知识训练： （一）选择题：
????????????????1. 化简AB?AC?BD?DC的结果为( )
?????????A.AC B.AD C.0 D.0
(或和向
????????????????量),记作a+b,即a?b?AB?BC?AC.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三
角形法则.
2.
??已知向量a、b,在平面上任取一点A,作
2. 平行四边形ABCD中,下列等式错误的是( )
????????????????????????A.AD?AB?BD B.AD?AC?CD
????????????????????????????C.AD?AB?BC?CD D.AD?DC?CA
??????????AB?a,AD?b,如果A、B、D不共线,则以AB、AD为邻边作??????????????边形ABCD,则对角线上的向量AC=a+b=AB+AD.这种求
平行四两个向
（二）填空题： 3. 4.
????????????????在△ABC中,AB?CA= ,BC?AC= .
量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.
??3. 已知向量a、b,在平面上任取一点O,作
??????????????????????OA?a,OB?b,则b+BA=a,向量BA叫做向量a与b的差,????????????????a-b,即BA=a?b?OA?OB.由此推知:
????????????????????????????????????????化简:AB?AC?BD?CD= ,A0A1?AA12?A2A3?A3A0= .
（三）解答题： 5.
并记作
C,再从点C向北偏西60?方向位移30m到达点D,试作出点A到点D的位移图示.
若某人从点A向东位移60m到达点B,又从点B向东偏北30?方向位移50m到达点
(1) 如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量
的终点的向量;
(2) 一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的相反向量.
??????????4. 向量加法满足如下运算律: (1)a?b?b?a; (2)(a?b)?c?a?(b?c). 三、典型例题：
??????│ a?b│ ≤│ │a ?│ │b 是否正确?为什么? 例1:已知任意两个向量a、b,不等式
????例2:作图验证:?(a?b)??a?b. 四、归纳小结： 1.
????????????????????????向量的加法有三角形法则(AB?BC?AC)或平行四边形法则(AB+AD=AC),
????????????向量的减法法则(AB?OB?OA).
2. 向量的加减法完全不同于数量的加减法.向量加法的三角形法则的特点是,各个加向量的首尾相接,和向量是首指向尾.向量减法的三角形法则的特点是,减向量和被减向
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20、 数乘向量
一、考试要求：
掌握数乘向量的运算及其运算律. 二、知识要点： 1.
??数乘向量的一般定义:实数?和向量a的乘积是一个向量,记作?a.
3. 4.
??????化简:2(3a?4b?c)?3(2a?b?3c)= .
??????若向量x满足等式: x?2(a?x)?0,则x= .
（三）解答题：
????1????????5. 任意四边形ABCD中,E是AD的中点,F是BC的中点,求证:EF?(AB?DC).
当??0时,??a与?a同方向,│??a│ =│ ∣?│ │?a ; 2当???? =│ ∣?│ │??0时,?a与a反方向,│?a│a ;
当??0或?a??0时,0??a????0??0.
2.
数乘向量满足以下运算律: (1)1?a=?a,(-1)?a=??a; (2)?(??a)?(??)?a;
(3)(???)?a???a???a; (4)?(?a??b)???a???b. ???3.a∥? 平行向量基本定理:如果向量b?0,则b的充分必要条件是,存在唯一的实数
??a??b?,使.该定理是验证两向量是否平行的标准.
三、典型例题：
例1:化简: 14(?a?2?b)?1(5?a?2b?)?1b?
例2:求向量?x:2(?6x???31?1??4a)?2(b?3x?c)?c
例3:已知:MN是△ABC的中位线,求证:????MN??1???2BC?,????MN?∥???BC?.
四、归纳小结：
向量的加法、减法与倍积的综合运算,通常叫做向量的线性运算. 五、基础知识训练： （一）选择题：
1. 下列关于数乘向量的运算律错误的一个是( )
A.?(??a)?(??)?a B.(???)?a???a???a
C.?(?a??b)???a???b D.?(?a??b)???a??b
2. 设四边形ABCD中,有???DC??1???2AB?,且∣???AD?∣?∣???BC?∣,则这个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 （二）填空题：
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21、向量的直角坐标
一、考试要求：
掌握向量的直角坐标和点的坐标之间的关系,熟练掌握向量的直角坐标运算,会求满足一定条件的点的坐标,掌握平行向量坐标间的关系.
二、知识要点：
?????1. 在直角坐标系XOY内,分别取与x轴、与y轴方向相同的两个单位向量e1、e2,
?1142828A.(?,2) B.(?,) C.(,) D.(?,)
2333333????3. 已知向量a?(1,?2),向量b?(?2,3),则3a?2b等于( )
A.(-1,-12) B.(3,-5) C.(7,-12) D.(7,0) （二）填空题：
??????4. 已知a?(?1,,2b)?,(?1c,?1),?且c?pa?qb,则p,q的值分别在XOY平面上任作一向量a,由平面向量分解定理可知,存在唯一的有序实数对(x1,x2),使得?a?x???????1e1?x2e2,则(x1,x2)叫做向量a在直角坐标系XOY中的坐标,记作a?(x1,x2).
2.
向量的直角坐标:任意向量???AB?的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标,即若
A(x(x?????????????(x?1,y1)、B2,y2),则AB?OB?OA2,y2)?(x1,y1)?(x2?x1,y2?y1).向量a的直角坐标
(a?a?1,a2),也常根据向量的长度和方向来求:a1?∣∣acos?,2?∣∣asin?.
3.
向量的坐标运算公式:设?a?(a?1,a2),b?(b1,b2),则:
?a?b??(ab??1,a2)?(1,b2)?(a1?b1,a2?b2);a?b?(a1,a2)?(b1,b2)?(a1?b1,a2?b2); ??a??(a1,a2)?(?a1,?a2). 三、典型例题：
例1:已知A(-2,1)、B(1,3),求线段AB的中点M和三等分点P、Q的坐标及向量???PQ?的坐标.
例2:若向量?a?(1,1)、?b?(1,?1)、?c?(?1,2),把向量?c表示为?a和b?的线性组合.
四、归纳小结：
1. 向量在直角坐标系中的坐标分别是向量在x轴和y轴上投影的数量,向量的直角坐标运算公式是通过对基向量的运算得到的.
2. 要求平面上一点的坐标,只须求出该点的位置向量的坐标. 五、基础知识训练： （一）选择题：
1. 已知向量?a?(2,3),向量?b?(?1,1),下列式子中错误的是( )
A.?a?b??(1,4) B.?a??b?(3,2) C.5?a?(10,15) D.?2?a?(4,6) 2.
已知A(1,5),B(-3,3),则△AOB的重心的坐标为( )
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为 .
5. 若向量?a?(2,m)与?b?(m,8)是方向相反的向量,则m= . （三）解答题：
6. 已知?a?(1,2),?b?(?2,?3),实数x,y满足等式xa??yb??(3,?4),求x,y.
7. 已知向量?a=(-3,4)、b?=(-1,1),点A的坐标为(1,0).
(1) 计算3?a?2?b;(4分)
(2) 当???AB???1?3a时,求B点的坐标.(6分)
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