张家港市舞蹈学校领舞导学案 备课人：陶广忠 第一轮复习
27、数列求和
一、考试要求：
掌握常用的数列求和的方法. 二、知识要点：
A.
10n1010(10?1)?n B.10n?1 C.(10n?1) D.(10n?1)?n 999(二)填空题：
3. 1-2+3-4+?+99-100的值是 ;1+3+3+?+81的值是 . 特殊数列求和的常用方法主要有:
(1) 直接由等差、等比数列的求和公式求和;
(2) 分组转化法求和,把数列的每一项分成两项,或把数列的项重新组合,或把整个数列分成两部分,使其转化成等差或等比数列,这一求和方法称为分组转化法;
(3) 拆项相消法求和,把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前n项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和方法称为拆项相消法;
(4) 错位相减法求和,如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成,此时求和可采用错位相减法;
(5) 倒序相加求和,如果一个数列{an},与首末两项等距的两项之和等于首末两
项之和,可采用把正着写和与倒着写和的两个式子相加,就得到一个常数列的和,这一求和的方法称为倒序相加法. 三、典型例题： 例1:求数列11,31,51,7124816,?的前n项和. 例2:求数列
11?3,13?5,15?7,?,1(2n?1)(2n?1),?的前n项和. 四、归纳小结：
应用特殊数列求和的常用方法要注意:
(1) 如果一个数列是等差或等比数列,求和直接用公式,注意等比时q=1的讨论; (2) 分组求和,即转化为几组等差或等比数列的求和;
(3) 拆项求和,以期正、负相消,或转化为几个数列的和差形式;
(4) 错项相减求和,主要应用于一个等差与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和. 如等比数列的求和公式的推导;
(5) 倒序相加求和,主要应用于与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和的数列求和.如等差数列的求和公式的推导. 五、基础知识训练： (一)选择题：
1. 已知数列: 11?2,12?3,13?4,?, 1n(n?1),?,则其前n项的和Sn为( )
A.1?11n?2nn B.1?n C.n?1 D.n?1 2. 数列9,99,999,?的前n项和是( )
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4. 数列{n}的前n项和是 . 5. 数列{an}的通项为an?1n?1?n,则S100= . 6.
111?2?3+12?3?4+13?4?5+?+ n(n?1)(n?2)= .
(三)解答题：
7. 求数列a?1,a2?2,a3?3,?,an?n,?的前n项的和. 8. 求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值.
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28、数列的应用
一、考试要求：
会用数列知识解简单的应用题. 二、知识要点：
2. 某种细菌在培养过程中,每２０分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成( )
A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个
1. 等差、等比数列的应用常见于:利率、产量、利润、成本、效益等增减问题,价格升降,繁殖,增长率等问题,因此解此类问题经常要建立数学模型,即从实际问题背景中抽取数学事例,归纳转化为数列问题去解决.
2. 数列应用问题主要有等差数列型、等比数列型、等差数列与等比数列综合型、递推数列型四种类型. 三、典型例题：
例1:某企业利用银行无息贷款,投资400万元引进一条高科技生产流水线,预计每年可获产品利润100万元,但还需用于此流水线的保养、维修费用第一年10万元,以后每年递增5万元,至少要几年可收回该项投资？
解: 设第n年流水线的保养维修费为an,则{an}是首项a1=10,公差d=5的等差数列.
n年来,利润共有100n,
一共的保养维修费为: Sn(n?1)n?na1?2?d?10n?5n(n?1)5n2?15n2?2 5n2要收回投资,即有100n?400?S?15nn?400?2
?5n2?185n?800?0,?n2?37n?160?0,?5?n?32, 至少要6年才能收回该项投资.
例2:国家为了刺激内需,规定个人购买耐用消费品不超过价格60%的款项,可以通过抵押方式向银行借贷,5年还清贷款.试根据上述规定解决下列问题:某人欲购一辆家庭微型车,他现有的全部积蓄20000元恰好付掉40%的购车款.
(1)他应向银行贷款多少?
(2)若银行贷款的年利率为5%,按复利计算,这笔贷款自借贷的一年后起,按每年等额
x元偿还.他每年应偿还多少元钱? (下列数据供选用:1.055=1.2763) 四、归纳小结:
将实际问题转化为数列问题时,要注意:
(1) 分清是等差数列还是等比数列的问题;
(2) 分清是求an,Sn,还是求n,特别要准确地确定项数.
五、基础知识训练: (一)选择题:
1. 一个屋顶的斜面成等腰梯形,最上面的一层铺瓦片21块,往下每一层比上一层多铺一块,斜面上铺了瓦19层,则共铺瓦片( )
A.228块 B.570块 C.589块 D.209块
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(二)填空题:
3. 计算机的成本不断降低,若每隔3年计算机的价格就降低1/3,现在价格8100元的同类计算机9年后的价格是 .
4. 某厂今年产值是100万元,计划再经过三年努力达到172.8万元,如果每年产值的增长率相同,则增长率是 . (三)解答题:
5. 某职工用分期付款的方式购买一套商品房,一共需15万元,购买时先付5万元,以后每年这一天都交付10000元,并加付欠款利息,年利率为1%,把交付5万元后的第一年开始算分期付款的第一年.
求: (1)分期付款的第5年应付多少钱(6分)?
(2)全部房款付清后,买这套房实际花了多少钱(6分)? 6. 某人年初向银行贷款10万元用于买房,
(1)若他向建设银行贷款,年利率为5%,且这笔贷款分10次等额归还(不计复利)每年一次,并从借后次年年初开始归还,问每年应还多少元?(精确到1元)
(2)如他向工商银行贷款,年利率为4%,要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息),仍分10次等额归还,每年一次,每年应还多少元?(精确到1元)哪种方案更好?
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29、角的概念推广及其度量
一、考试要求：
1. 理解正角、负角及零角等概念,熟练掌握角的加、减运算; 2. 理解弧度的意义,掌握弧度和角度的换算. 二、知识要点：
1. 角的概念:角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置而成的图形,旋转开始时的射线叫角的始边,旋转终止时的射线叫角的终边,射线的端点叫角的顶点.按逆时针旋转而成的角叫正角,按顺时针旋转而成的角叫负角,当射线没作任何旋转,我们称它形成一个零角.
2. 象限角:把角置于直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,角的终边落在第几象限,就叫做第几象限的角,如果角的终边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任一象限.
若?为第一象限的角,则2k????2k???2,(k?Z);
若?为第二象限的角,则2k???2???(2k?1)?,(k?Z);
若?为第三象限的角,则(2k?1)????(2k?1)???2,(k?Z);
若?为第一象限的角,则(2k?1)???2???2(k?1)?,(k?Z).
3. 终边相同的角:两个角的始边重合,终边也重合时,称两个角为终边相同的角.所有与角?终边相同的角,连同角?在内,可构成一个集合: S?{?????k?360?,k?Z}. 4. 弧度制:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用“弧度”作单位来度量角的制度叫做弧度制,用“度”作单位来度量角的制度叫做角度制.
任一已知角?的弧度数的绝对值???r,其中?为以角?作为圆心角时所对圆弧的
长,r为圆的半径.
5. 弧度与角度的换算:
180???rad,1???180rad?0.01745rad,1rad?(180?)??57?18??57.30.?
三、典型例题： 例1:已知角??45?,
(1) 在[?720?,0?]内找出所有与?有相同终边的角?; (2) 若集合M?{xx?k2?180??45?,k?Z},N?{xx?k??4?180?45k,?Z,}那么集合M与N的关系是什么? 例2:若角?是第二象限角,(1)问角
?2是哪个象限的角? (2)角2?的终边在哪里? 33
例3:一个扇形OAB?的面积是1cm2,它的周长是4cm,求圆心角的弧度数和弦长AB. 四、归纳小结：
1. 角的大小表示旋转量的大小,各角和的旋转量等于各角旋转量的和. 2. 角的概念推广后,注意辨别:
(1)“0??90?间的角”、“第一象限的角”、“锐角”及“小于90?的角”; (2)“第一象限的角或第二象限的角”与“终边在x轴上方的角”. 3. 正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
4. 公式???r中,比值?r与所取的半径大小无关,而仅与角的大小有关.
5. 弧长公式为????r,扇形面积公式为S?1??r?1??r222.
五、基础知识训练： （一）选择题：
7. 下列四个命题中正确的是( )
A.第一象限角必是锐角 B.锐角必是第一象限角
C.终边相同的角必相等 D.第二象限角必大于第一象限角 8.
若?、?的终边相同,则???的终边在( )
A.x轴的正半轴上 B. y轴的正半轴上 C. x轴的负半轴上 D. y轴的负半轴上
9. 若?是第三象限角,则?2是( )
A.第一或第三象限角 B.第二或第三象限角 C.第二或第四象限角 D.第一或第四象限角 10. 终边是坐标轴的角的集合是( )
A.S?{???k?360?,k?Z} B.S?{???k?180?,k?Z} C.S?{???90??k?180?,k?Z} D.S?{???k?90?,k?Z}
11. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( ) A.?23 B.?3 C.3 D.2 12. 把?11?4表示成2k???(k?Z)的形式,使?最小的?的值是( )
A.?3???3?4 B.?4 C.4 D.4
（二）填空题：
13. 与?18?30?的角终边相同的最小正角是 ,与670?的角终边相同的绝对值最小的角是 .
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14. 若角?与角?的终边在一条直线上,则?与?的关系是 . 15. 若角???20??k?180?在?720??360?间,则整数k的值是 . 16. 终边落在直线y??3x上的角的集合是 . 17. 经过5小时25分钟,时针和分针分别转的弧度数是 .
18. 设?、?满足??2??????2,则???的范围是 . 34 34
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33、任意角的三角函数
一、考试要求：
1. 理解正弦、余弦、正切函数的定义,了解余切、正割、余割函数的定义; 2. 熟记三角函数在各象限的符号,牢记特殊角的三角函数值. 二、知识要点：
1. 任意角三角函数的定义:直角坐标系中任意大小的角?终边上一点P(x,y),它到原点的距离是r?x2?y2,那么sin??yr,cos??xyxr,tan??x,cot?y,sec??rx,csc??ry分别是?的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数,这六个函数统称三角函数.
2. 轴与有向线段:
(1) 点P的坐标x、y分别是有向线段???OP?在x轴上和y轴上射影???OP?????1和OP2的数
量,如果x轴正向到???OP?方向的转角为?,则x?OP????????OP?1?OP?cos?,y?OP2?sin?.
(2) 如果???AB?是直角坐标系xOy中的任一条有向线段,????AB???????????11、A2B2分别是AB在x
轴上和y轴上的正射影,x轴正向到???AB?方向的转角为?,则
A????AB??cos?,A????1B12B2?AB?sin?.
3. 单位园与三角函数线:半径为1的圆叫做单位圆,设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0),A?(-1,0),与y轴的交点分别为B(0,1),B?(0,-1).设角?的顶点在圆心O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过点P作PM垂直x轴于M,设单位圆在点A的切线与?的终边或其延长线相交于点
T(T?),则
cos?=OM,sin?=MP,tan?=AT(AT?)
把有向线段????OM?、???MP?、???AT?(???AT???)分别称做?的余弦线、正弦线和正切线.
4. 三角函数在各象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 5. 特殊角三角函数值:
3?? 0 ?6 ?4 ??3 2 ? 22? sin cos? tan? ?
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三、典型例题：
例1:已知角?的终边与函数y?23x的图象重合,求?的六个三角函数值. 例2:判断下列三角函数式的符号:
(1)tan（?17?6）; (2)若sin?=-2cos?,确定cot?与sec?的符号.
例3:当??（0，?2）时,比较?,sin?,tan?的大小.
四、归纳小结：
1.
三角函数定义中的比值yr,xr,yx,xy,rx,ry与角?终边上点P(x,y)的位置无关,只与
?的大小有关.
2. 若角?的终边和单位圆相交于点P,则点P的坐标是P(cos?,sin?),用有向线段
表示正弦值、余弦值、正切值时,要注意方向,分清始点和终点.
3. 特殊角三角函数值及三角函数在各象限的符号是根据三角函数的定义导出的. 五、基础知识训练： （一）选择题：
1. 已知tan??cos??0,且cot??sin??0,则?是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
2. 角?终边上的单位向量???OP?在x轴上的正投影分量是( ) A.sin? B.cos? C.tan? D.cot?
3. 已知?、??(0,?4),且a?sin(???),b?sin??sin?,c?cos??cos?,则a、b、c
的大小关系为( )
A.a
A.tanx,secx B.cotx,cscx C.tanx,cscx D.cotx,secx
5. 将函数y?sin?x的图象右移
12个单位,平移后对应的函数为( ) A.y?sin(?x?12) B.y?sin(?x?12) C.y?cos?x D.y??cos?x
6. 若sin??cot??0,则?在( )
A.一或二象限 B.一或三象限 C.二或三象限 D.二或四象限
7. 已知??5?8,则点P(sin?,tan?)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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