2.9 如图示一铅直矩形平板AB如图2所示，板宽为1.5米，板高h=2.0米，板顶水深h1=1米，求板所受的总压力的大小及力的作用点。
题2.9图 题2.10图
解：将坐标原点放在水面与直板延长线的交点，水平向右为O-x轴，竖直向下为O-y轴，建立直角坐标系O-xy，在y方向上h处取宽度为dh的矩形，作用力dF为
dF??hdA?1.5?hdh
在y方向上积分得总压力F为
h?h1h?h1F??hdF??h1.5?hdh?1.5?2[(h?h1)2?h1]?5.88?104N 2总压力的作用点为
hv??hdFF??h?h1h1.5?h2dhF?2.167m
02.10 如图示为一侧有水的倾斜安装的均质矩形闸门，其宽度b=2m，倾斜角??60，铰链中心O 位于水面以上C=1m，水深h=3m，求闸门开启时所需铅直向上的提升力T，设闸门重力G=0.196×105N。
解：建立坐标系O-xy，原点在O点，Ox垂直于闸门斜向下，Oy沿闸门斜向下，浸在水中的闸门上的作用力 （不计大气压力）为
F??hCA??hbh? 2sin60设压力中心为D到ox轴的距离为zD，则有
bh3()h0JCChC2h12sin60zD??zC??????hbhsin?zCAsin602sin60()sin603sin602sin60sin60
当闸门转动时，F与G产生的合力矩与提升力T产生的力矩相等，则有
T(C?h)?bh2C2hh?C?(?)?G
tan602sin60sin603sin602tan60则T大小为
6
?bh2C?2h/3G9810?2?321?2?3/30.196?105T???????1.63?105N
sin2?C?h2sin1201?322.11 如图示，一水库闸门，闸门自重W=2500N，宽b=3m，闸门与支撑间的摩擦系数?=0.3，当水深H=1.5m时，问提升闸门所需的力T为多少？
解：将z轴取在闸门上，竖直向下，原点为水面与闸门的交汇点 液面下深度h?z处微面积dA上的微液作用dF为
dF??hdA??hbdh
闸门上的总作用力为 F??H0dF???hbdh??BH2/2
0H由力平衡解得 T?W?F??2500?9922.5?12422.5N
2.12 在水深2m的水池下部有一个宽为1m，高为H=1m的正方形闸门OA，其转轴在O 点处，试问在A点处需加多大的水平推力F，才能封闭闸门？
题2.11图 题2.12图
解：将y轴取在闸门上，竖直向下，原点为水面与闸门延长线的交汇点 液面下深度h=y处微面积dA上的微液作用dF为
dF??hdA??hbdh
闸门上的总作用力为 F??2HHdF??2HH?hbdh?3? 2设压力中心为D到原点的距离为yD，则有
yD??21hdFF??H00?h2dh3?/2?1.56m
(2H?yD)F0.44F??6474.6N
H1由F'H?(2H?yD)F得 F'?2.13 如图示，a 和b 是同样的圆柱形闸门，半径R=2m，水深H=R=2m，不同的是图（a）中水在左侧，而图（b）中水在右侧，求作用在闸门AB上的静水总压力P 的大小和方向？（闸门长度（垂直于纸面）按1m计算）。
7
（a）
（b）
题2.13图
2.14 如图示，为一储水设备，在C点测得绝对压强为p=19600N/m2，h=2m，R=1m，求半球曲面AB 的垂直分力。
题2.14图
h解：由题意得2，解得
pAB?S?F?GpAB?p??h2?R2F?pAB?S?G?(p??)S???10257.33N
232.15 一挡水坝如图示，坝前水深8m，坝后水深2m，求作用在每米坝长上总压力的大小和方向。
解：竖直方向段：F1?4?0?hdh?16??8? 24448?60方向段：F2??hCA??(4?)?? 2sin60380方向段：F3??hC'A'??各作用力如图所示，
222??? 2sin80sin80F1'?F1?F2cos30?F3cos10?30?F2'?F2sin30?F3sin10?14.21?，
5作用在每米坝长上总压力的大小和方向为：F?33.2??3.25?10N，??25.35
2.16 挡水弧形闸门如图示，闸前水深H=18m,半径R=8.5m，圆心角θ=450，门宽b=5m。求作用在弧形门上总压力的大小和方向。
8
18mRθ
题2.15图 题2.16图
解：压力中心距液面为zC?9.5? 28.5?2，曲.面155面m积
A??R4b?8.5??5?33.4m2 4总作用力F在x，z向的分力Fx、Fz为
Fx?Ax?dFx??Ax6zdA??zA???zA(1?2/2)??1.49?10N xCzC??zdAx??zCAx??zCAsin45?3.59?106N
Fz??dFz??AzAz总压力为F?Fx2?Fz2?3.89?106N，与x轴的夹角为??arctanFZ?22.54 FX2.17 盛有水的开口圆桶形容器，以角速度ω绕垂直轴O作等速旋转。当露出桶底时，ω应为若干？（如图示中符号说明：坐标原点设在筒底中心处。圆筒未转动时，筒内水面高度为h。当容器绕轴旋转时，其中心处液面降至Ho，贴壁液面上升至H高度。容器直径为D。）
ωHhH0OD
题2.17图
解：由回转抛物体的体积恰好是高度为h的圆柱体体积之半得：
?R22所以??H??R2?2R22?2g
12gH R9
第3章 流体运动学
3.1 已知流体的速度分布为ux?1?y；uy?t，求t=1时过（0,0）点的流线及t=0时位于（0,0）点的质点轨迹。
解：（1）将ux?1?y，uy?t带入流线微分方程
dxdy得 ?uxuydxdy ?1?yty2?c t被看成常数，则积分上式得xt?y?2y2?0 t=1时过（0,0）点的流线为x?y?2（2）将ux?1?y，uy?t带入迹线微分方程
dxdy??dt得 uxuydxdy??dt 1?ytt2?c2 解这个微分方程得迹的参数方程：x?(1?y)t?c1，y?2将t?0时刻，点（0,0）代入可得积分常数：c1?0，c2?0。 带入上式并消去t可得迹线方程为：x?(1?y)2y
3.2 给出流速场为u?(6?xy?t)i?(xy?10t)j?25k，求空间点（3,0,2）在t=1时的加速度。
解：根据加速度的定义可知：
222a?du?udx?udy?udz?u?u?u?u?u?????ux?uy?uz?
?y?z?tdt?xdt?ydt?zdt?t?xux?6?x2y?t2，uy??(xy2?10t)，uz?25
a在x,y,z向分速度如下：
ax?dux?ux?u?u?u?ux?xuy?xuz?x?2xy(6?x2y?t2)?x2(xy2?10t)?2t dt?x?y?z?t 10