ay?duydt??uy?xux??uy?yuy??uy?zuz??uy?t??y2(6?x2y?t2)?2xy(xy2?10t)?10az?duz?uz?u?u?u?ux?zuy?zuz?z?0 dt?x?y?z?tt=1时，点（3,0,2）的加速度为：a??88i?10j
3.3 已知流场的速度为ux?2kx，uy?2ky，uz??4kz，式中k为常数。试求通过（1，0，1）点的流线方程。
解：将ux?2kx，uy?2ky，uz??4kz带入流线微分方程
dxdydz??得 uxuyuzdz?dx??dxdydz?2kx?4kz??即?
dydz2kx2ky?4kz????2ky?4kz2??xz?c1k被看成常数，则积分上式得?2，将点（1，0，1）代入得c1?1,c2?0
yz?c??2?x2z?1?于是流线方程为?2
??yz?03.4 已知流场的速度为ux?1?At，uy?2x，试确定t=to时通过（xo,yo）点的流线方程。A为常数。
解：将ux?1?At，uy?2x带入流线微分方程
dxdy得 ?uxuydxdy?
1?At2xt被看成常数，则积分上式得x?(1?At)y?c t=to时通过（xo,yo）点，得c?x0?(1?At0)y0 于是流线方程为x?(1?At)y?x0?(1?At0)y0
3.5 试证明下列不可压缩流体运动中，哪些满足连续方程，哪些不满足连续方程？ （1）ux??ky，uy?kx，uz?0。 （2）ux?
2222?yxu?，，uz?0。 yx2?y2x2?y211
（3）ur?k/r（k是不为零的常数），uθ?0。 （4）ur?0，uθ?k/r（k是不为零的常数）。
解：根据连续方程得定义，对于不可压缩流体??const，
?ux?uy?uz在直角坐标系中当???divu???u?0时，满足连续方程
?x?y?z（1）因
?ux?uy?uz???0，满足 ?x?y?z?ux?uy?uz?2xy?2xy（2）因???2??0，满足
?x?y?z(x?y2)2(x2?y2)2在圆柱坐标系中当
ur?ur?r?ru?u（4）因r?rr?r（3）因
ur?ur1?uθ?uz????0时，满足连续方程 r?rr???z1?uθ?uz1kk?????2?0?0，满足 r???zrrr1?uθ?uz1???0?0??0?0?0，满足 r???zr2233.6 三元不可压缩流场中，已知ux?x?yz，uy??(xy?yz?zx)，且已知z?0处
uz?0，试求流场中的uz表达式。
解：由不可压缩流场中连续方程
?ux?uy?uz???0得 ?x?y?z?uzdu??2x?x?z?z ?zdzz2?c，由z?0处uz?0得c=0 积分得uz??xz?2z2所以流场中的uz表达式为uz??xz?
23.7 二元流场中已知圆周方向的分速度为uθ??csin?，试求径向分速度ur与合速度2ru0。
解：对于平面二维流场，uz?0，连续方程为
ur?ur1?uθ???0，代入解方程 r?rr??22223.8 三元不可压缩流场中ux?x?z?5，uy?y?z?3，且已知z?0处uz?0，
试求流场中的uz表达式，并检验是否无旋？
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解：由连续方程
?udu?ux?uy?uz???0得 z??2x?2y?z
?zdz?x?y?z积分得uz??2(x?y)z?c，由z?0处uz?0得c=0 所以流场中的uz表达式为uz??2(x?y)z
1?ux?uz1?uz?uy1?uy?ux??(?)?2z由于?x?(，?z?(?)??2z，y?)?0
2?z?x2?y?z2?x?y可见该流体运动是有旋的
3.9 已知二元流场的速度势为??x2?y2
（1）试求ux，uy并检验是否满足连续条件和无旋条件。 （2）求流函数。 解：（1）ux??????2x，uy???2y ?x?y?ux?uy1?uy?ux由于??2?2?0，满足连续方程；由于?z?(?)?0，无旋
?x?y2?x?y（2）ux???????2y ②?2x ①；uy?? ?x?y积分式①得 ??????ydy?f(x)?2xy?f(x) ③
???2y?f'(x)?2y，可以判定f’(x)=0,f(x)=c ?y将式③对x求偏导，并令其等于?uy，即
即流函数为：??2xy?c
3.10 不可压缩流场的流函数为??5xy （1）证明流动有势，并求速度势函数。
（2）求（1，1）点的速度。 解： ux???????5y ?5x，uy???x?y1?uy?ux（1）由于?z?(?)?0，无旋即有势
2?x?y 13
ux??????5x，uy???5y ?x?y由于d????????dx?dy?dz?uxdx?uydy?uzdz ?x?y?z对上式作不定积分得速度势函数：
????5x25y2???d???(dx?dy)??(uxdx?uydy)???c
?x?y22（2）（1，1）点的速度为ux?1?5，uy?1??5
22223.11 已知ux?xy?y，uy?x?yx，试求此流场中在x?1，y?2点处的线变率、
角变率和角转速。
2222解：由ux?xy?y，uy?x?yx，x?1，y?2
线变率为：?x??u?ux=2xy=4，?y?y=?2xy=?4 ?x?y1?uy?ux113角变率为：?z?(?)?(2x?y2?x2?2y)?(2?4?1?4)?
2?x?y222角转速为：?z?1?uy?ux117(?)?(2x?y2?x2?2y)?(2?4?1?4)?? 2?x?y222r2)]，umax为管轴处最大流速，r03.12 已知圆管过流断面上的速度分布为u?umax[1?(r0为圆管半径，r为某点距管轴的径距。试求断面平均速度u。
解：断面平均速度u??udA?Ar0A?0r02r04r32?umax(r?2)dr2?umax(?2)r024r0umax ??22?r0?r02123Q0ab12c3dCABQ
题3.13图 题3.14图
DQQQ
3.13 管路AB在B点分为两支，已知dA=45cm，dB=30cm，dC=20cm，dD=15cm，
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vA=2m/s，vC=4m/s，试求vB，vD。
解：由公式Q?Au?const得
2AAvAdAvAAvA?ABvB，得vB??2A?4.5m/s
ABdB22AAvA?ACvCdAvA?dCvCAAvA?ACvC?ADvD，得vD???10.9m/s 2ADdD3.14 送风管的断面面积为50cm×50cm，求通过a,b,c,d四个送风口向室内输送空气。已知送风口断面面积为40cm×40cm，气体平均速度为5m/s，试求通过送风管过流断面1-1、2-2、3-3的流速和流量。
解：由于a,b,c,d四个送风口完全相同，则Qa?Qb?Qc?Qd?流断面1-1、2-2、3-3的流量分别为：
1Q0 4311Q1?1?Qb?Qc?Qd?Q0，Q2?2??Qc?Qd?Q0，Q3?3?Qd?Q0
424v?12.8m/s 由Av1?4A2v，得四个送风口的流速为
由Av1?A2v?Av11?1得，断面1-1流速v1?1?Av1?A2v?9.6m/s
A1Av1?2A2v?6.4m/s
A1由Av1?2A2v?Av12?2得，断面2-2流速v2?2?断面3-3流速v3?3?A2v?3.2m/s A1 15