311111Rn?()1?()2?()3?????()n?1?(n?1)?()n44444 两式相减得411n?()1?44?(n?1)()n141?4
13n?1Rn?(4?n?1)94整理得
13n?1R?(4?)nn?1cn??94所以数列数列的前n项和
30．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分
16分.设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d?0),Sn是其前n项和.记bn?为实数.
*(1)若c?0,且b1，b2，b4成等比数列,证明:Snk?n2Sk(k,n?N);
nSn*,n?N,其中c2n?c(2)若{bn}是等差数列,证明:c?0.
【答案】证明:∵{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d?0),Sn是其前n项和
∴Sn?na?n(n?1)d 2(1)∵c?0 ∴bn?Snn?1?a?d n22123d)?a(a?d) 22112111∴ad?d?0 ∴d(a?d)?0 ∵d?0 ∴a?d ∴d?2a 24222n(n?1)n(n?1)d?na?2a?n2a ∴Sn?na?22∵b1，b2，b4成等比数列 ∴b2?b1b4 ∴(a?∴左边=Snk?(nk)2a?n2k2a 右边=n2Sk?n2k2a ∴左边=右边∴原式成立
(2)∵{bn}是等差数列∴设公差为d1,∴bn?b1?(n?1)d1带入bn?nSn得: n2?cb1?(n?1)d1?nSn1132?(d?d)n?(b?d?a?d)n?cdn?c(d?b)n?N ∴对恒成立 111111222n?c1?d??12d?0??b?d?a?1d?0∴?1 12??cd1?0?c(d?b)?0?11由①式得:d1?1d ∵ d?0 ∴ d1?0 2由③式得:c?0
法二:证:(1)若c?0,则an?a?(n?1)d,Sn?当b1，b2，b4成等比数列,b2?b1b4,
2n[(n?1)d?2a](n?1)d?2a,bn?.
22d?3d???2即:?a???a?a??,得:d?2ad,又d?0,故d?2a.
2?2???由此:Sn?n2a,Snk?(nk)2a?n2k2a,n2Sk?n2k2a. 故:Snk?n2Sk(k,n?N*).
2(n?1)d?2anS2(2)bn?2n?, 2n?cn?c(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2an2?c?c222 ?2n?c(n?1)d?2ac(n?1)d?2a2. (※) ??22n?cn2若{bn}是等差数列,则bn?An?Bn型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2a2c?0故有:,即,而≠0, ?022n2?c故c?0.
c经检验,当c?0时{bn}是等差数列.
31．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））等差数列
?an?的前n项
和为Sn,已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,求?an?的通项式.
【答案】
32．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为
3的等比数列{an}不是2递减数列, 其前n项和为Sn(n?N*), 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 设Tn?Sn?【答案】
1(n?N*), 求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. Sn
33．（2013年高考江西卷（理））正项数列{an}的前项和{an}满足:sn2?(n2?n?1)sn?(n2?n)?0
(1)求数列{an}的通项公式an; (2)令bn?5n?1*,数列{b n}的前n项和为T.证明:对于任意的n?N,都有Tn?n2264(n?2)a22S?(n?n)??(n2?n?1)Sn?(n2?n)?0,得?n??(Sn?1)?0.
【答案】(1)解:由Sn由于?an?是正项数列,所以Sn?0,Sn?n2?n.
于是a1?S1?2,n?2时,an?Sn?Sn?1?n2?n?(n?1)2?(n?1)?2n. 综上,数列?an?的通项an?2n. (2)证明:由于an?2n,bn?n?1. 2(n?2)2an则bn?n?11?11?. ??22?4n2(n?2)216?n(n?2)??Tn?1?111111111? 1??????…?????222222222?16?32435(n?1)(n?1)n(n?2)?
?1?111?115. 1????(1?)?222?216?2(n?1)(n?2)16264??2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*. n3334．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设数列
?an?的前n项和为Sn.
已知a1?1,
(Ⅰ) 求a2的值;
(Ⅱ) 求数列?an?的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n,有
【答案】.(1) 解:?
1117?????. a1a2an42Sn12?an?1?n2?n?,n?N?. n3312? 当n?1时,2a1?2S1?a2??1??a2?2
33又a1?1,?a2?4 (2)解:?
2Sn12?an?1?n2?n?,n?N?. n33n?n?1??n?2?12 ① ? 2Sn?nan?1?n3?n2?n?nan?1?333?当n?2时,2Sn?1??n?1?an??n?1?n?n?1? ②
3由① — ②,得 2Sn?2Sn?1?nan?1??n?1?an?n?n?1?
?2an?2Sn?2Sn?1
?2an?nan?1??n?1?an?n?n?1?
?an?1ana?a???1 ?数列?n?是以首项为1?1,公差为1的等差数列. n?1n1?n??an?1?1??n?1??n,?an?n2?n?2? n当n?1时,上式显然成立. ?an?n2,n?N* (3)证明:由(2)知,an?n2,n?N* ①当n?1时,
17?1?,?原不等式成立. a141117??1??,?原不等式亦成立. a1a2442②当n?2时,
③当n?3时, ?n??n?1???n?1?,?11 ?2n?n?1???n?1??1111111111 ?????2?2???2?1??????a1a2an12n1?32?4n?2?nn?1?n?1??????1?11?1?11?1?11?1?11?1?11??1??????????????????????
2?13?2?24?2?35?2?n?2n?2?n?1n?1?1?1111111111??1??????????????
2?132435n?2nn?1n?1?1?1111?71?11?7?1?????????????
2?12nn?1?42?nn?1?4?当n?3时,,?原不等式亦成立.
综上,对一切正整数n,有
1117?????. a1a2an435．（2013年高考北京卷（理））已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an?1,an?2,的最小值记为Bn,dn=An-Bn .
(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N,an?4?an),写出d1,d2,d3,d4的值;
*
(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;