(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.
【答案】(I)d1?d2?1,d3?d4?3.
(II)(充分性)因为?an?是公差为d的等差数列,且d?0,所以a1?a2???an??. 因此An?an,Bn?an?1,dn?an?an?1??d(n?1,2,3,?). (必要性)因为dn??d?0(n?1,2,3,?),所以An?Bn?dn?Bn. 又因为an?An,an?1?Bn,所以an?an?1. 于是An?an,Bn?an?1. 因此an?1?an?Bn?An??dn?d,即?an?是公差为d的等差数列.
(III)因为a1?2,d1?1,所以A1?a1?2,B1?A1?d1?1.故对任意n?1,an?B1?1. 假设?an?(n?2)中存在大于2的项.
设m为满足an?2的最小正整数,则m?2,并且对任意1?k?m,ak?2,. 又因为a1?2,所以Am?1?2,且Am?am?2.
于是Bm?Am?dm?2?1?1,Bm?1?min?am,Bm??2. 故dm?1?Am?1?Bm?1?2?2?0,与dm?1?1矛盾.
所以对于任意n?1,有an?2,即非负整数列?an?的各项只能为1或2. 因此对任意n?1,an?2?a1,所以An?2. 故Bn?An?dn?2?1?1. 因此对于任意正整数n,存在m满足m?n,且am?1,即数列?an?有无穷多项为1.
36．（2013年高考陕西卷（理））
设{an}是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 导{an}的前n项和公式;
【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.
(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{an?1}不是等比数列.
{an}是首项为a1的常数数列，所以Sn?a1?a1???a1?na1. ①当q?1时，数列②当q?1时，Sn?a1?a2???an?1?an?qSn?qa1?qa2???qan?1?qan.
（1-q)Sn?a1?(a2?qa1)?(a3?qa2)??(an?qan?1)?qan?a1?qan. 上面两式错位相减:
a1?qana1(1?qn)?Sn??..
1-q1-q?na1,?③综上,Sn??a1(1?qn)?1?q,?(Ⅱ) 使用反证法.
(q?1)(q?1)
设{an}是公比q≠1的等比数列, 假设数列{an?1}是等比数列.则 ①当?n?N*，使得an?1=0成立,则{an?1}不是等比数列.
na?1aq?1?1n?1?恒为常数 ②当?n?N*，使得an?1?0成立,则n?1an?1a1q?1?a1qn?1?a1qn?1?1?当a1?0时,q?1.这与题目条件q≠1矛盾.
③综上两种情况,假设数列{an?1}是等比数列均不成立,所以当q≠1时, 数列{an?1}不是等比数列.