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目 录
1 高斯定理的表述
1.1数学上的高斯公式 1.2静电场的高斯定理
1.3磁场的高斯定理 2高斯定理的证明方法 2.1.1静电场的高斯定理 2.1.2磁场的高斯定理 2.2高斯定理的直接证明 2.3高斯定理的另一种证明
2.4对称性原理及其在电磁学中的应用
3理解和使用高斯定理应注意的若干问题的讨论与总结
(a) 定理中的 E是指空间某处的总电场强度 (b) 注意?E?dS?s?qint?中 E和 dS的矢量性
0(c) 正确理解定理中的?q
int(d) 不能只从数学的角度理解?E?dS?s?qint?
0(e) 对高斯面的理解 4 高斯定理的应用?
4.1利用高斯定理求解无电介质时电场的强度 4.2利用高斯定理求解有电介质时电场的强度 5将高斯定理推广到万有引力场中? 5.1静电场和万有引力场中有关量的类比 5.2万有引力场中的引力场强度矢量 5.3万有引力场中的高斯定理 6结束语 参考文献
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高斯定理在电磁学中的应用
杨梅（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）
指导教师：黄国栋
摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。最后把高斯定理推广到万有引力场中去。 关键词：高斯定理，应用，万有引力场 引言
高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强度或者磁感应强度。虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应对高斯定理有一定的了解。
1 高斯定理的表述
1.1数学上的高斯公式
设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S所围成，若函数P,Q,R在V上连续，且有一阶
连续函数偏导数，则
??P?Q?R???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy 1－1 ??dxdydz????????x?y?z?V?S[1]
其中S的方向为外发向。1－1式称为高斯公式。 1.2静电场的高斯定理
一半径为r的球面S包围一位于球心的点电荷q，在这个球面上，场强E的方向处处垂直于球面，且E的大小相等,都是E?????q4??0r2。通过这个球面
S的电通量为
?e???E?dS???ssq4??or?dS?2q4??or2??dS?sq4??or2?4?r?2q?o
其中
???S2dS是球面积分，等于4?r。从此例中可以看出，通过球面S的电通量只与其中的电量q
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有关，与高斯面的半径r无关。若将球面S变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为q?0。
??若闭合曲面S内是负电荷?q，则E的方向处处与面元dS取相反，可计算穿过S面的电通量为?q/?0。若电荷?q在闭合曲面S之外，它的电场线就会穿入又穿出S面，通过S面的电通量为零。
如果闭合面S内有若干个电荷q1,q2,q3……qn，由场强叠加原理可知，通过S面的电通量为
[2]
?e???E?dS????Ei?dS????Ei?dS?ssi?1i?1s??n??n??1?o?qi?1ni
此式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的?0分之一，这就是真空中的高斯定理。通常把闭合曲面S称为高斯面，对于连续分
的电荷，电荷体密度为?，则上式可以表述为?e???E?dS?s??1?o??dV
V1.3磁场的高斯定理
由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为零。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。用式子表示：
??B?dS?0
s??与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和
S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零，即
磁
场
是无源场
[2]
。
2 高斯定理的证明? 2.1高斯定理的数学证明2.1.1静电场的高斯定理
静电场中高斯定理的证明主要分以下四种情况：
q??r球面的电通量为(a)点电荷在球面中心，点电荷q的电场强度为E?4??or3?1q??1E?dS??r?dS?????4??or34??or2ss??1??dS?s14??or2?4??r?2q?o 2－1
(b)点电荷在任意闭曲面外，闭曲面S的通量为
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q??qE?dS??r?dS?????4??or34??oss??11(xdydz?ydxdz?zdxdy)??3rs 2－2
?
根据高斯公式
111xdydz?ydxdz?zdxdy3334??o??rrrsq??P?Q?R????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy? 2－3 ??dxdydz???????S?x?y?z?V?并考虑到
xyz在S内有连续一阶偏导数，故2－2式可2－2式代入2－3式得
P?3,Q?3,R?3rrr1q??E?dS????3r?dS??4??orss????1(xdydz?ydxdz?zdxdy)34??o??rs111xdydz?ydxdz?zdxdy3334??o??rrrs????y??3?r??y????z??3?r??z??????dxdydz?0???q
q??x???3q??r???x4??o???V??
(c)点电荷在任意闭曲面内
在任意闭曲面S内以点电荷q为球心作一辅助球面S1，其法向朝内，根据2－1式可知点电荷q在闭曲面S?S1的电通量为零，即：
??????E?dS???E?dS?0ss1?
???????E?dS????E?dS????E?dS?ss1s2q?o 2－4
其中式2－4中S1和S2大小相等，法向相反。 (d)点电荷系在闭曲面内外
设闭曲面内的点电荷为q,q2,q3……qn；闭曲面外的点电荷为qn?1……；根据上述讨论可得
??E?dS????Essi?1??n?i?dS????Ei?dS?i?1s[3]
?n??1?o?qi?1ni
这就是静电场中的高斯定理。
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2.1.2磁场的高斯定理
磁场中高斯定理的证明主要分以下四种情况： ?(a)电流元Idl在球面中心
??由磁通量的定义和毕奥—萨法尔定律dB?得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为
????oIdl?ro为了方便，把?简写为?，则可
?dBB4?r2???oIdl?ro?oIB?dS???dS?????4?r24?ss??ro?dS??dl2??rs?
因为r//dS，所以
o?????B?dS?0
s??(b)电流元Idl在任意闭曲面外 电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为
???oIdl?ro?B?dS?????dS2??4?rss???????
???因为r?xi?yj?zk，并设dl?dlk，则dl?r??ydli?xdlj
???oIdlIdl?r?yxo代入原式得 B?dS???dS?(dydz?dxdz) 222??????4?4?srrrss????根据高斯公式
??P?Q?R????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy? ??dxdydz???????S?x?y?z?V????????oIdlIdl?r?yxo同理可得 B?dS???dS?(dydz?dxdz)?0 222??????4?4?srrrss(c)电流元Idl在任意闭曲面内
以此类推，在闭曲面S内，以电流元为球心作一辅助球面S1，因为
???B?dS???B?dS?0ss1????
所以
??B?dS????B?dS?0
ss1?????(d)电流元Idl在闭曲面上
由上述易知，所有的电流元在闭曲面上的磁通量也为零，即
??B?dS?0
s??