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这正是磁场的高斯定理。 2.2高斯定理的直接证明
[4]
???如图1所示，电荷量为Q的带电体中任一点处的电荷密度为??r1?,则由电场强度定义知该
???带电体在空间r点产生的电场强度为
?????r1???E????3?RdV14??oRV1????图1
2－5
式中为r原点位矢，R?r?r为原点到场点的位矢。将E对任意闭合曲面S求面积分，即得
11???E?dS????EdVsV???1 2－6
由2－5式可得
?????r????1 ??E????3?RdV14??oR由于算符?是对r的微分算符，与r无关，故 1???1R?1???????21???E???r1????3?dV1???r1??????dV1??4??oV1???R?4??oV1???R??? 2－7 ??????r1???11????????????r1??4??RdV1????r1????r?r1?dV1????4??oV1???oV1????o??????式中最后一步用到了?函数的筛选性，将式2－7代入式2－5中得：
?????r1?????dV
E?dS????sV?o
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?????r1?(1)当电荷Q包含在闭合曲面S内时，则 ????dV?Q
E?dS????sV?o?o(2)当电荷Q的不包含在闭合曲面S内时，则
?????r1?????dV?0Q
E?dS????sV?o?o由此高斯定理得证。 2.3高斯定理的另一种证明
图2
如图2所示，设有一电量为q孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，任意r为半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为E?法
线
??q4??or3该
?r方向沿径向离开球心，和球面上该点的
闭
合
曲
面
的
电
通
量
为
?正
?方向相
?同
?。通过
?e???E?dS???ssq4??or?r?dS?3q4??or2??dS?sq4??or?4?r2?2q?o与半径r无关。
这一结果根据电通量的定义表明, 电量为q的正点荷发出q/?0条电场线, 由于电通量与半径无关, 说明电场线是不间断的；若q为负电荷, 则表明有q?0条电场线汇集到这个负点电荷
上, 同样这些电场线也是不间断的。由于电场线是不间断的, 面外电荷不影响闭合曲面的电通量。现在我们设想这个点电荷不位于球心而位于球面内任意点处,那么据以上分析同样得穿过这个闭合球面的电通量亦为q/?0。现在我们进一步设想, 电量为q的点电荷不是位于球面内而是位于任意的闭合曲面内, 则同样得到结论, 通过这个闭合曲面的电通量q/?0。
若一闭合曲面内包含N个点电荷, 其中M(M?N)个是正的, N?M个是负的。设M个正点电荷所带的总电量为QM, 则这M个点电荷发出QM/?0条不间断的电场线；N?M个负点电荷所带的总量为QN?M， 则这N?M个负点电荷汇集QN?M据电通量的定义,?0条不间断的电场线，
发出的即穿出闭合曲面为正, 汇集的即进人闭合曲面的为负, 所以通过闭合曲面的电通量为
?e???E?dS?QM??so??QM?N?o
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即 ?e???E?dS?s??QM?QM?N?o
这里有可能出现面内一些正电荷发出的电场线没有穿出闭合曲面而直接汇集到负电荷上，也就是说，负电荷汇集的电场线不是由闭合曲面外来的，而是由闭合曲面内来的，这并不影响我们的结论。
因此就一般情况而言，若任一闭合曲面内包围的净余电荷为q,q,???q，则穿过这个闭合曲面的
12n电通量为 ?e???E?dS???qsoi?1??1ni
2?4对称性原理在电磁学中的应用 日常生活中常说的对称，是指物体或一个系统各部分之间比例适当、平衡、协调一致，从而产生一种简单性和美感。这种美来源于几何确定性，来源于群体与个体的有机结合。数学、物理中的对称性是比具体事物的对称性更深层次的对称。物理学中的对称性观念可以概括为：如果某一现象或系统在某一变换下不改变，则说该现象或系统具有改变换所对应的对称性。因此物理定律中的对称性又可以称为不变性。
所谓对称性原理即为：（1）原因中的对称性比反映在结果中，即结果中的对称性至少有原因中的对称性多样性那样多；（2）结果中的不对称性必在原因中有所反映，即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性那样多；（3）在不存在唯一性的情况下，原因中的对称性必反映在全部可能的结果的集合中，即全部可能的结果的集合中的对称性至少有原因中的对称性那样多。这个原理是由皮埃尔·居里首先提出来的。
这个原理指出，自然规律反映了事物之间的因果关系，即：“等价的原因”导致“等价的结果”。“对称的原因”导致：“对称的结果”。
例如：利用对称性分析长直密绕载流螺线管内磁感应线的形状。
原因：螺线管对任意垂直于轴的平面镜像对称平行于轴的直线上的点具有平移对称性，所以B只有垂直于镜面的分量。
结果：B是轴矢量。镜像变换后垂直分量不变，平行分量反向。 对称性与守恒律是密切联系的，在电磁学中对称性有着广泛的作用，以下将从几个方面分述对称性
在电磁学中的若干具体的应用：
例1： 求一段长为2L，线电荷密度λ的带电细棒在中心轴线处P 点所产生的场强.设P点与带电细棒的垂直距离为l如图1,
分析一般而言,场强是矢量。求场强需要解出每个分量的大小。不过此题有一个显著的特点，就是带电细棒关于其中垂线对称，因此我们可以建立如图所示坐标系。得：
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其次，可以用对称性结合静电场高斯定理求解电场强度以及利用对称性结合磁场的环路定理求解电场强度以及利用对称性结合磁场的环路定理来求解磁场强度。
静电场的高斯定理是电磁学中一个重要定理，虽然定理本身并不涉及场源（带电体）的对称性，但是用它来求解对称分布的带电体的场强却是学生必须掌握的内容。在这一类题目中，仔细分析带电体的对称性是问题的关键，因为我们需要根据带电体的对称性选取适当高斯面。比如，对球对称带电体系一般选球形高斯面，对柱对称带电体一般选取柱形高斯面，对平面对称带电体（包括带电薄板）一般选取封闭长方体形高斯面。
例2 如图2在一半径为R1，带电体密度为ρ的均匀带电球体内挖去一个半径为R2的球形空腔。设空腔中心O2与带电球体的球心O1 之间的距离为L，求空腔内任一点P处的场强。
分析 对于球对称体系的处理我们很熟悉，不过这里由于空腔的存在。体系不再具有“球对称性”但是我们可以通过“补偿法”将不对称条件化为对称条件，从而简化问题。
先用体密度为ρ半径为R2的均匀带电小球填充空腔，使球体变
为一完整的带电球（记为球1）；再用体密度为ρ，半径为R2的均匀带电小球（记为球2）置于空腔中,使得电荷分布与实际情况相同。这样，腔中任何一点的场强可用球1，球2所产生的场强叠加来求解，即：E?E?E
P12设O1到P的位矢为r1 由高斯定理得：
2??E1?dS?E14?r?s1??????42?r1 ?o3解得：
E1???r1 3?o?? 同理，设O2到P的位矢为r2。由高斯定理可以解得球2在P点产生的场强为
?r2?r2 E1?? 3?o3?o?????? E?E?E??? ?r2?r1?P123?o?????L3?oE2???
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磁场的安培环路定理与静电场高斯定理一样，本身的内容不涉及电流体系的对称性，但是具体到计算则必定与一定对称分布的电流体系相联系。
综述，由上面的一些应用举例我们可以加深对对称性概念的一些理解，事实上，对称性已经广泛地应用物理学及相关学科的各个方面，它不仅是现代物理理论的重要组成部分，更是人们认识自然的一个 重要理论工具。
此，高斯定理得证。 3正确理解高斯定理
高斯定理是静电学中的一个重要定理,它反映了静电场的一个基本性质 ,即静电场是有源场 ,其源即是电荷。可表述为:在静电场中 ,通过任意闭合曲面的电通量 ,等于该闭合曲面所包围的电
[5]
荷的代数和的
1倍 ,与闭合曲面外的电荷无关。它的表达式为：E?dS??o?s?qint?o 是电磁学
最基本的定理之一。其中 ,E表示在闭合曲面上任一 dS面处的电场强度 ,而 E·dS则为通过面元dS的电场强度通量 ,就表E?dS示通过整个闭合曲面 S的电场强度通量 ,
s??s表示沿闭合
曲面 S的积分 ,习惯上称 S为高斯面， 高斯定理表明:静电场是有源的、发散的 ,源头在电荷所在处 ,由此确定的电场线起于正电荷 ,终于负电荷。对高斯定理的理解和应用不正确 ,常常会出现一些问题。 如 ,高斯面上的 E是否完全由高斯面内的电荷产生;如果
?q?0 ，是否必有 E
= 0 ;当E处处为零时 ,是否高斯面内一定无电荷;高斯定理是否在任何情况下都成立;哪些问题用高斯定理解决会简便一些等等. 这就涉及是否对高斯定理理解正确 ,对其数学表达式的理解是否存在数学负迁移情况.其实 ,只要对高斯定理注意掌握几个要点， 就能对上面的问题有比较清醒的认识了.
(a) 定理中的 E是指空间某处的总电场强度
空间中某处的电场强度为空间中所有电荷所激发的电场在该处场强的矢量和. 若任意作一个假想的闭合曲面(高斯面) 通过该处 ,用 E内、 E外 分别表示高斯面内、外的电荷在高斯面上产生的场 ,则在该处的总场强 E = E内 + E外.由高斯定理有:
?E?dS??E?dS??E?dS?sss?qint?o
而从电场线的角度看 ,电场线始于正电荷 ,终于负电荷 ,当电场中的闭合曲面内不含有电荷时 ,电场线仅穿过此闭合曲面 ,这些进入闭合曲面的电场线总条数与穿出闭合曲面的电场线总条数相等 ,故通过整个闭合曲面的电场强度通量为零. 所以
?E ?dS?0（E指外部场强）
s