高斯定理在电磁学中的应用 第 16 页 ，共 20 页
为 ?e????S????????????????E?dS????E?dS????E?dS????E?dS
S1StSb在S面的上、下底面（St和Sb）上，场强方向与底面平行，因此，上式等号右侧后面两项等于
零。而在侧面（S1）上各点E的方向与各该点的法线方向相同，所以有
???S????????????E?dS???E?dS?E??dS?E?2?Rl
s1s1此封闭面内包围的电荷
?qint??l
由高斯定理得 E?2?Rl??l?0
由此得 E??
2??0R由上所述，解法一与解法二的结果相同，由解法一和解法二比较可知，当条件允许时，利用高斯定理计算场强分布要简便得多。 4.2利用高斯定理求解有电介质时的电场强度 在电介质中，由电场引起的极化电荷会激发附加电场，使原电场发生改变，反过来又会影响极化情况。如此相互影响，最终达到平衡。在直接计算空间场强时会遇到如下困难：要由电荷分布求场强E，必须同时知道自由电荷及极化电荷的密度，而极化电荷密度取决于极化强度PP?dS??【?'??，?'?(P?P)?e】，P又取决于E（P???E），这就似乎形成计算上的
S?V21n0循环。高斯定理通过列出有关E、P、?'、?'的数量足够的方程，然后联立求解，同时引入一个新矢量场D以消去?'和?'，方便求解。
当空间有电介质时，只要把自由电荷和极化电荷同时考虑在内，可以得到有电介质的高斯定理
??D?dS?qS0
其中D??0E?P.
如图1所示，假设有一厚度为b的无限大均匀介质平板中有体密度为?0的均匀分布自由电荷，平板的相对介电常数为?r，两侧分别充满相对介电常数为?r1和?r2的均匀介质.要求板内外的电场强度E，首先分析介质平板中激发电场的电荷分布，因介质板内有自由电荷?0，在自由电荷处对应的极化电荷密度为
?r1?r2?'??
?r?1? ?r0图1
高斯定理在电磁学中的应用 第 17 页 ，共 20 页
总电荷体密度为
???0??'??0 ?rOM b2 D2 b1 S x O’Mb ’ 图2
因此，平板中电荷为均匀分布.另外，在介质板两侧为不同的介质，由于?r1??r2，故在两界面上的极化电荷面密度?'1??'2.在板内存在一个电场强度E?0的平面
D1 OO'，不妨称它为零电场面.此面的电位移矢量D?0,如图2.以OO'面为基面,向
两侧作底面积为S,垂直OO'面伸出平板外的柱体,柱体的表面为高斯面,根据对称性,E与D的方向垂直介质板的表面,因此高斯面侧面的电通量为0.两个高斯面包围的自由电荷的电荷量分别为?0Sb1和?0Sb2.根据介质中高斯定理,求得介质板两侧的电位移矢量为
?r1?r2D1??0b1en,D2??0b2en
两侧的电场强度为
E1??0b1?ben,E2?02en ?0?r1?0?r2单位矢en的方向为背向介质板表面,如图2所示 ,介质板两侧的电场的大小相等,即E1?E2.因而
b1?r1因b?b1?b2,求得零电场面的位置
?b2?r2
b1??r1b?r2b ,b1??r1??r2?r1??r2用i表示方向向右的单位矢,则板外两侧介质的电场为
E???0b?0(?r1??r2)i
同理,以零电场面为基面在板内作底面积为S、长为x的高斯面，求得介质板内电位移矢量为
D内??0xi
板内的电场强度为
E内?式中x为板内场点的坐标.
?0xi ?0?r
高斯定理在电磁学中的应用 第 18 页 ，共 20 页
5将高斯定理推广到万有引力场中? 5.1静电场和万有引力场中有关量的类比
??1q1q2??静电学中的库仑定律： F??er 5－1 24??0r??m1m2??牛顿万有引力定律： F?G?2?er 5－2
r1电学中以上5－1、5－2两式在数学形式上完全等同。比较两式可得如下结论：○
14??0相当于力
学中的G，为了记忆的方便，我们记为
14??0?G（下同）于是有
1?0当于力学中的质量m，于是有
?4?G 5－3
2电学中电荷q相上式中?0?8.85?10?12(C2?N?1?m?2),G?6.67?10?11(N?m2?kg?2)○
q?m 5－4
5.2万有引力场中的引力场强度矢量
静电场中点电荷在电场中受到的电场力为
????F?qE 5－5
经典力学中质点在引力场中受到的重力为
???? P?mg 5－6
??和电场强度类似，在万有引力场中定义一个引力场强度矢量（以下简称引力场强）g，则
???? E?g 5－7 ??且规定：试探质点在引力场中某点受到的力f与其质量之比定义为引力场中该点的引力场强
????fg? 5－8
m??如果已知引力场中某点的引力场强g，则质点在该处受到的引力可由下式给出
????f?mg 5－9
5.3万有引力场中的高斯定理
???一般说来，引力场中的某点的g是该点位置r的矢量函数，对于多个质点产生的引力场，引
力场强满足叠加原理。有了万有引力场强的定义后，就可以仿照电通量?e的概念，在引力场中
高斯定理在电磁学中的应用 第 19 页 ，共 20 页
????定义引力场强通量?g。对某面积微元的引力场强通量：d?g?g?dS?gdScos?。其中?是引????力场强g与面积微元dS的夹角，因此，对某面S的总引力场强通量为
?g????S????g?dS 5－10
有了引力场强通量的概念，就可以讨论穿过闭合曲面引力场强通量的问题。仿照电场中高斯定理的证明过程可以证明引力场中的高斯定理。由5－3、5－4、5－7式，并考虑到闭合曲面面积微元的法线正方向定义后，不难得到穿过某闭合曲面S的引力场强通量应满足
???S????1E?dS??0?qi????S????g?dS??4?g?mi 5－11
上式称为万有引力场中的高斯定理，与静电场中的高斯定理具有相似的形式。根据散度的定义，我们可以将4－11式写成相应的微分形式
???????E????g??4?G? 5－12
?0此式说明万有引力场是一种有源场，它的源可认为就是质量分布。 6 结束语
根据上述分析可知，对于电电磁学中重要的基本定理之一的高斯定理，我们可以运用数学法、直接法等方法来证明，在电磁学中，当条件允许时，利用高斯定理可以很方便的解决相关的问题。
参考文献
[1] 高等数学第二册（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1996年第3版：234—235。
[2] 张丹海、宏小达.简明大学物理（第二版）[M].北京：科学出版社，2008年第2版：173—176
196—200。
[3] 籍延坤.大连铁道学院学报[J].2004年9月第25卷第3期：13—15。
[4] 梁灿彬、秦光戎等.电磁学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004年第二版：14—24
182—185。
[5] 陈国云.骆成洪等.南昌大学学报[J].2008年12月第30卷第4期：354—358。
[6] 程敦华. 高斯定理教学中的几点体会[J]. 连云港化工高等专科学校学报 , 1995,(03) 。 [7] 杨燕. 使用高斯定理应注意的若干问题[J]. 文山师范高等专科学校学报 , 2001,(01)。
[8] 田纯华, 陈新民. 关于高斯定理的教学[J]. 郑州轻工业学院学报(自然科学版) , 1993,(S1) 。 [9] 郭慧成. 高斯定理的另一种证明[J]. 吉林师范大学学报(自然科学版) , 2006,(02) 。 [10] 朱岳军. 用高斯定理求解场强分布[J]. 云南民族学院学报(自然科学版) , 1999,(03) 。 [11] 张容. 正确理解高斯定理[J]. 成都大学学报(自然科学版) , 2003,(02)。
[12] 徐福春. 应用高斯定理求场强条件的讨论[J]. 鞍山师范学院学报 , 1990,(03) 。
[13] 郭克新, 邹卫东. 对应用高斯定理求场强的一点讨论[J]. 咸宁师专学报 , 1997,(03) 。 [14] 官秉尧. 对用高斯定理解释带电球壳上场强的探讨[J]. 石家庄经济学院学报 , 1985,(04) 。 [15] 冯瑞明. 高斯定理应用浅析[J]. 内蒙古电大学刊 , 1994,(S2)。
[6]
高斯定理在电磁学中的应用 第 20 页 ，共 20 页
Gauss theorem in Electromagnetics
Yangmei
(School of Physics and Electrical Engineering of Anqing Normal College,Anqing 246011)
Abstract: Gauss's theorem is an important theorem in electromagnetics, it not only in the electrostatic field have important applications, but also Maxwell's field theory of an important equation. This paper introduces the Gauss theorem, mathematical method, and provides direct proof method to prove it, summarizes the application of Gauss theorem should pay attention several questions, it can be found that the Gauss theorem in solving the related problems of the convenience of electromagnetics. Finally, Gauss theorem is extended to the field of gravitation.
Keywords: Gauss theorem, application, gravitational field