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故 E?dS?E?dS??s?s?qint?o（E指内部场强）
即:高斯定理对高斯面内的电荷产生的场而言 ,也成立. (b) 注意E?dS??s?qint?o中 E和 dS的矢量性
在对高斯定理的理解上常常出现不注意物理量的矢量性问题. 有些人认为当
?q?0时 ,由于
intdS?0,所以必有E?0.
实际上 ,
?q?0,表明始于闭合曲面内正电荷的电场线与终于闭合曲面内负电荷的电场线数相
int等 ,则穿出闭合曲面的电场线数与进入闭合曲面的电场线数相等 ,即通过整个闭合面的电场强度通量为零.但这并不意味着闭合曲面上电场强度处处为零. 因为:
(1) 高斯面上某处的场强是高斯面内、外电荷在该处产生的场强的矢量和 ,所以 ,即便高斯面内的
?q?0,也无法完全确定 E = 0 ;
int(2) 由于 E和dS在式中是矢量的标积关系 ,因此存在二者的方向问题 ,如果 E ≠0 ,而它与dS的方向垂直 ,仍有E?dS?0 故不能由
?q?0 来判断 E是否为零。
int (c) 正确理解定理中的
?q
intint?q是高斯面内正、负电荷电量的代数和. 当通过高斯面的电通量为零时 , ?q 这个结论既
int可表明高斯面内有电量相等的正、负电荷 ,也可表明高斯面内无电荷. 因此 ,不能肯定高斯面内一定无电荷.
(d) 不能只从数学的角度理解E?dS?s??qint?
0有些人在对高斯定理的数学表达式的理解上常出现“数学负迁移”问题 ,得出这样的错误结论:当闭合曲面上 E处处为零时 ,不一定有曲面内电量的代数和
?q=0
int?E?dS??Ess内?dS??E外?dS?s?qint?=0；
0当 E = 0 时 ,并不一定分别有 E内 = 0和 E外 = 0.由于始终有
?Es外?dS?0 ,而 E内 不一
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定为零 ,所以 ：
?E?dS??E内?dS?ss?qint不一定为零 ,即当闭合曲面上的 E处处为零时 ,
0??q不一定为零.
int这显然与高斯定理相悖. 因为当 E处处为零时必有EdS=0 ,即通过整个高斯面的电通量为零 ,
s?而高斯面外的电荷激发的电场通过整个高斯面的电通量为零:
?Es外?dS?0,
所以必有高斯面内电荷的电通量为零:
?Es内?dS?0 这里可以有两种情况:一是 E内 = 0 ;二是 E内 ≠0 ,但?E内?dS?0 无论是
s哪种情况 ,都有
?q=0。
int从数学上讲:E = 0时或 E ≠0但 E· dS = 0 ,必有
?q= 0 ,而 ?q = 0时 ,E不一定在高
intint斯面上处处为零 ,即数学上描述的是 E通量而不是 E,它完全是由高斯面内的电荷代数和 确定的. 从物理上讲 ,高斯面上各点的 E是由所有电荷(面内面外) 所激发的. (e) 对高斯面的理解
?qint有些人提出这样的问题:如果电荷既不在高斯面内 ,也不在高斯面外 ,而是在高斯面上 ,高斯面上的场强怎样计算？实际上 ,高斯面是一个几何面 ,它没有厚薄之分 ,却有内外之分 ,电荷要么在高斯面内(包括内表面) ,要么在高斯面外(包括外表面) .也就是说 ,必须把高斯面作为几何面 ,而把点电荷的点视为物理上的点. 6 高斯定理是平方反比定律的必然结果
由于高斯定理是由点电荷间相互作用的平方反比定律(库仑定律)得出的 ,所以高斯定理是点电荷作用力的平方反比定律的必然结果. 如果库仑定律 F?q?q04???r02中 ,r 的指数不是 2 ,而是 n ,则点电荷的场强的大小应表示为:
E?q4???r0n
以点电荷为中心 ,作半径为 r 的球面为高斯面 ,则:
?E?dS??ssq4???r0dS??nsq4???r0?d???nr2q4???r0?4?=n?2q??r0n?2
从而得不到高斯定理的结论. 所以 ,只有在点电荷作用力服从平方反比定律的条件之下 ,高斯定理才成立 ,否则不成立. 但到目前为止 ,理论和实验表明点电荷作用力的平方反比定律是相当精确的.
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4 高斯定理的应用? 4.1利用高斯定理求解无电介质时的电场强度
由于E?dS?s??qint?中的 E是 dS处的场强 ,而不是整个高斯面上的场强. 所以 ,一般来说
0高斯面上的场强并非一定处处相等 ,即 E并不一定是恒矢量 ,故无法从积分号内提出 ,因此难以用高斯定理计算出场强来. 但若选择合适的高斯面 ,能使电场强度 E从积分号中提出来 ,就能用高斯定理求解场强 E了.为此 ,作高斯面时应注意: (1) 需求场强的场点要在高斯面上;
(2) 高斯面上各部分或者与场强 E垂直 ,或者与场强 E平行 ,或者与场强 E有恒定的夹角; (3) 各部分高斯面上垂直于高斯面的场强的大小应各自为一常值; (4) 高斯面的形状应比较简单.
为此 ,当电场具有球对称时 ,高斯面选为同心球面;具有很强的轴对称时 ,选为同轴柱面;具有面对称
时 ,选为柱面 ,并使两底与 E垂直 ,侧面与 E平行.
由于作高斯面有如上限制 ,因此用高斯定理只能求某些对称分布电场的场强. 用高斯定理求场强的步骤可归纳为：
(1) 分析带电体所产生的电场是否具有对称分布的特点; (2) 选取合适的高斯面;
(3) 再由高斯定理求电场的场强分布. 高斯定理的微分形式
从严格意义上 ,高斯定理表为E?dS?s??qint? 仅为场强对闭合曲面 S通量的积累效应 ,为净余
0通数学上称积分形式 ,不能算作方程. 因此 ,在理解它所描述的静电性质上有一定难度. 如果我
们将任面缩小 ,并让它趋于零 ,即:
lim?E?dSs?v?0?V
,s是以体积ΔV 为边界的闭合曲面 ,显然上式描述的是电场中某点的电场特征 ,定义为某点电场强散度:
divE =而:
lim?E?dSs?v?0?V
?E?dS?s?qint? , ??lim0?v?0?q ?V
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故: divE =
??
0这就是高斯定理的微分形式 ,在电场中是点点对应的关系. 在散度divE ≠0之处必有ρ≠0. 这就清
楚地表明了静电场的重要性质:静电场是有源场 ,电力线总是起于正电荷而终止于负电荷.
高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。虽然高斯定理的适用范围很广，但用它求带电体的电场分布时有很大的局限性，只对那些电荷分布高度对称的带电体，
????????1场强E是面积元dS处的E，随dS的才能使用高斯定理求场强。在选择高斯面时，应注意：○
????2不同，E也不同；○场强E是全部带电体系中（无论在高斯面内还是在高斯面外）所有电荷产生
的总场强，而?qi只是对高斯面内的电荷求和，这是因为高斯面外的电荷对总通量?e没有贡献，
i?1n??3高斯面内所包围的电荷等于零时，E不一定等于零，只说明通过高斯但不是对场强没有贡献；○
4高斯定理虽由库仑定律引申而来，但它的适用范围广，而不论对静止电面S的电通量等于零；○
荷还是运动电荷都适用，但应用时，必须在电场具有某种对称性时（球、轴、面对称），才有可能；5在应用高斯定理时，除应注意到场强具有对称性外，对高斯面的选取还应注意到：所选高斯面○
??应平行电场线或垂直电场线；当高斯面法向与电场线平行时，高斯面上的场强E的大小应处处相??等，这样E可提出积分号外，积分被简化为对面元的取和。
利用高斯定理求场强的一般步骤：
（1）进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析电场分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等），这是解题的关键，也是解题的难点；
（2）根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：①待求场强的场点应在此高斯面上，②
??????穿过该高斯面的电通量容易计算；一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直，n与E????平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外面；
????（3）计算电通量???E?dS和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。
应该指出，在某些情况下（对称），应用高斯定理是比较简单的，但一般情况下，以点电荷场强公式和叠加原理以相互补充，还有其它的方法，应根据具体情况选用。利用高斯定理，可简捷地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面——高斯面。 高斯定理的应用举例
例一：求无限长均匀带电直线的电场分布，已知线上线电荷密度为?。
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图3
解法一：（利用库仑定律求解）
如图3所示，我们选择电荷元dq为长度dl上所带电量，即dq??dl，dq在点P产生的元场强的大小 dE??dl
4??0r2为计算该积分，首先必须统一积分变量。为便于计算，将变量 l和r统一用?表达。由图3
2可知，r?Rsec?，l?Rtan?，由l?Rtan?又可以得dl?Rsec?d?，代入dl及r后，可
得 dE??d?
4??0R对于每一个正 Y轴上的dl长度，一定存在另一个对称的负Y轴上的dl，这两个长度上的电荷元在点P产生的场强Y分量相互抵消，因此求总场强时我们只需对dEx积分。注意
dEx?dEcos?，积分限为???和，则有 22?????22 E??dEx?cos?d???sin????????4??0R24??0R2??0R2
图4
解法二：（利用高斯定理求解）
带电直线的电场分布具有轴对称性，考虑离直线距离为R的一点P处的场强E（如图4所示）。由于空间各向同性而带电直线为无限长，且均匀带电，所以电场分布具有轴对称性，因而P点的电场方向唯一的可能是垂直于带电直线而沿径向，并且和P点在同一圆柱面（以带电直线为轴）上的各点的场强大小也都相等，而且方向都沿径向。
作一个通过P点，以带电直线为轴，高为l的圆筒形封闭面为高斯面S，通过S面的电通量