河南省普通高等学校
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5. 设f(x) 在x?1处可导，且f?(1)?1，则limh?0f(1?2h)?f(1?h)的值为（ ）
h A.-1 B. -2 C. -3 D.-4 解：limh?0《高等数学》试卷
题号 f(1?2h)?f(1?h)?lim[?2f?(1?2h)?f?(1?h)??3f?(1)??3?C 。 h?0h一 二 三 四 五 六 总分 核分人 6.若函数f(x)在区间(a,b)内有f?(x)?0,f??(x)?0，则在区间(a,b)内，f(x)图形 分数 （ ）
A．单调递减且为凸的 B．单调递增且为凸的
C．单调递减且为凹的 D．单调递增且为凹的 得分 评卷人 一. 单项选择题（每题2分，共计50分）
解：f?(x)?0?单调增加；f??(x)?0?凸的。应选B。
在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 7.曲线y?1?x3的拐点是 （ ） 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.
A. (0,1) B. (1,0) C. (0,0) D. (1,1) 1.集合{3,4,5}的所有子集共有 （ ） 解：y???6x?0?x?0?(0,1)，应选A 。
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集个数2n?23?8?D。
8.曲线f(x)?x2?23x2的水平渐近线是 （ ） 2.函数f(x)?arcsin(x?1)?3?x的定义域为 （ ） A. y?2 A. [0,3] B. [0,2] C. [2,3] D. [1,3] 3 B. y??2113 C. y?3 D. y??3 解： ???1?x?1?1解：x2?2?0?x?2?B。
xlim???3x2?13?y?1?3?x?03?C 。 x23. 当x?0时，与x不等价的无穷小量是 ( )
9. lim?0tantdtA.2x B.sinx C.ex?1 D.ln(?x) x?0x4? （ ）
1解：根据常用等价关系知，只有2x与x比较不是等价的。应选A。 A. 0 B.
12 C.2 D. 1 4.当x?0 是函数f(x)?arctan1x 的 （ ） x20tanxdx A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 解：lim?
x?0?lim2xtanx2x4x?04x3?12?B 。 解：lim1 10.若函数f(x)是g(x)的原函数，则下列等式正确的是 （ ?arctanx2 ；x?0??limarctan1x???2?C。 x?0?A.
?f(x)dx?g(x)?C B. ?g(x)dx?f(x)?C
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15 页
）
C.g?(x)dx?f(x)?C D.
??f?(x)dx?g(x)?C
解：根据不定积分与原函数的关系知，g(x)dx?f(x)?C。应选B。 11.cos(1?3x)dx? （ ）
A.??132x31bf(x)dx ??xdx?解：?ab?a2163?113?B。 316. 过Oz轴及点(3,?2,4)的平面方程为 （ ） A. 3x?2y?0 B. 2y?z?0 C. 2x?3y?0 D. 2x?z?0
解：经过Oz轴的平面可设为Ax?By?0，把点(3,?2,4)代入得2x?3y?0应选C。 也可以把点(3,?2,4)代入所给的方程验证，且不含z。
?11sin(1?3x)?C B. sin(1?3x)?C 33C. ?sin(1?3x)?C D. 3sin(1?3x)?C
11 解：?cos(1?3x)dx???cos(1?3x)d(1?3x)??sin(1?3x)?C?A。
3312. 设y??(t?1)(t?3)dt，则y?(0)? （ ）
0x?x2z2?1??17. 双曲线?3绕z轴旋转所成的曲面方程为 （ ） 4?y?0?x2?y2z2x2y2?z2??1 ??1 B. A.
3434(x?y)2z2x2(y?z)2??1 D. ??1 C.
3434x2z2x2?y2z2222??1中x换成x?y得??1，应选A。 解：把343418.lim A.-3 B.-1 C.1 D.3 解：y??(x?1)(x?3)?y?(0)?3?D 。
13. 下列广义积分收敛的是 （ ） A.
???dxxdx1?? B.
?10??1dx x
C.
?1xx D.
???dxxx解：由p积分和q积分的收敛性知，?14. 对不定积分
dxxx1收敛，应选C 。
3?xy?9? （ ）
x?0xyy?011 B. ? C.0 D. 极限不存在 661 ?sin2xcos2xdx，下列计算结果错误是 （ ）
1?C tanx A.
A. tanx?cotx?C B. tanx?解：lim3?xy?9?xy11?lim??lim???B 。
x?0x?0x?0xy6xy?9)xy?9y?0y?0xy(3?y?03?yC. cotx?tanx?C D. ?cot2x?C 解：分析结果，就能知道选择C。
15. 函数y?x在区间[1,3]的平均值为 （ ）
A.
2 19.若z?x，则
?z?y? （ ）
(e,1) A.
2613 B. C. 8 D. 4 33 15 页 第 2 页 共
1 B. 1 C. e D. 0 e
?z 解：
?y?xlnx(e,1)y(e,1)?elne?e?C 。
?z? （ ） ?x A.(?1,1) B.(?3,3) C. (?2,4) D.(?4,2)
20. 方程 z2y?xz3?1所确定的隐函数为z?f(x,y)，则
1??t?解： 令x?1?t，级数化为?n?1t?????收敛区间为(?3,3)，即
3n?0?3?n?031n?nx?1?(?3,3)?x?(?4,2)?D。
24. 微分y???3y??2y?e?xcosx特解形式应设为y?? （ ） A. Cecosx B. e?x(C1cosx?C2sinx) C. xe?x(C1cosx?C2sinx) D. x2e?x(C1cosx?C2sinx)
解：?1?i 不是特征方程的特征根，特解应设为e?x(C1cosx?C2sinx)。应选B。
xzzz2z2A. B. C. D.
2y?3xz3xz?2y2y?3xz3xz?2yFx??zz2 解：令F?zy?xz?1?Fx???z;Fz??2zy?3xz?，?????xFz2y?3xz2332应选A。
21. 设C为抛物线y?x上从(0,0)到(1,1) 的一段弧，则
2?C2xydx?x2dy?
25.设函数y?f(x)是微分方程y???y??e2x的解，且f?(x0)?0，则f(x)在x0处
（ ）
A.取极小值 B. 取极大值 C.不取极值 D. 取最大值 解：有f??(x0)?f?(x0)?e
得分 评卷人
二、填空题（每题2分，共30分）
26.设f(x)?2x?5，则f[f(x)?1]?_________.
解：f[f(x)?1]?2(f(x)?1)?5?2f(x)?3?2(2x?5)?3?4x?13 。
2x0 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2
1?x?x23,xC解：：?从0变到1，?2xydx?xdy??4xdx?1?C 。 2C0?y?x?f??(x0)?e2x0?0?A 。
22.下列正项级数收敛的是 （ ）
?11A. ? B. ?
n?23n?1n?2nlnn??11C. ? D. ?2nn(lnn)n?2nnn?2??11 解：对级数?、?需要利用积分判别法，超出大纲范围。级数2n?2nlnnn?2n(lnn)???111p?1p?1有结论：当时收敛，当时发散。级数、与级???pn3n?1n?2n?2nnn?2n(lnn)2n?____________. 27.limn??n!?2n解：构造级数?，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件
n?0n!?1数?利用比较判别法的极限形式来确定---发散的，应选C。 n?2n23.幂级数
?2nlim?0。 n??n!?3n?0?1n?1(x?1)的收敛区间为 （ ）
n?3e4x，x?0? 28.若函数f(x)??在x?0处连续，则a?____________. a?2x?，x?02? 15 页 第 3 页 共
af(x)?;limf(x)?3?a?6。 解：lim?x?0?x?0229.已知曲线y?x2?x?2上点M处的切线平行于直线y?5x?1，则点M的坐标为 ________
解：y??2x?1?5?x?2?y?4?M(2,4)。 30.设f(x)?e2x?1，则 f解：f(n)(2007)解：f(x?y,xy)?x2?y2?(x?y)2?2xy?f(x,y)?x2?2y。 38.已知I??220dy?1?y2yf(x,y)dx，交换积分次序后，则I?_______ ?2,y?x?1?y2? 2????22x???(x,y)|?x?1,0?y?1?x?，
2???11?x2 解：D??(x,y)|0?y???(0)?_________
(x)?2ne2x?1? f(2007)(0)?22007e?1。
?2,0?y? ??(x,y)|0?x?2?所以次序交换后为
??x?3t?1dy31.设?，则?__________ 2dxt?1?y?2t?t?1解：
?220dx?f(x,y)dy??2dx?02x0f(x,y)dy。
dy4t?1dy?? ?1。 dx3dxt?1??11?1??39.若级数?收敛，则级数????的和为 _______ uuun?1?nn?1nn?1?32. 若函数f(x)?ax2?bx在x?1处取得极值2，则a?______，b?_____ 解：f?(x)?2ax?b?0?2a?b?0；a?b?2?a??2;b?4。 33.
解：Sn??而ilm?0，?u?u?????u?u???????u?u???u?u，n??un?12?3?n?1?1n?1?1?2?n所以S?limSn?n???11??11。 u11??11?111??f?(x)dx? _________ f(x)f?(x)df(x)dx???ln|f(x)|?C。 f(x)f(x)解：
40.微分方程y???2y??y?0的通解为________
解：有二重特征根1，故通解为y?C1ex?C2xex（C1,C2为任意常数）。
得分 评卷人
三、判断题（每小题2分，共10分）
你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.
41.若数列?xn?单调，则?xn?必收敛. ( ) 解：如数列?n?单调，但发散，应为×。
42.若函数f(x)在区间?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，则一定不存在??(a,b)，使f?(?)?0. ( )
2解：如y?x在??1,3?满足上述条件，但存在??0?[?1,3]，使得f?(?)?0，应为
34．解：
?1011?x2dx?_________
1?21?xdx?S?。 圆?044?????35.向量a?3i?4j?k的模|a|?________
???解：|3i?4j?k|?9?16?1?26。
36. 已知平面?1：x?2y?5z?7?0与平面?2：4x?3y?mz?13?0垂直，则
m?______
??解：n1?{1,2,?5};n2?{4,3,m}?4?6?5m?0?m?2。
2237.设f(x?y,xy)?x?y，则f(x,y)?________
15 页 第 4 页 共
×。
解： 两边取自然对数得 ln|y|?2ln|x|? 两边对x求导得：
x?sinx由洛比达法则1?cosxsinx??????lim?lim??1. ( ) 43.limx??x?sinxx??1?cosxx???sinx1?ln|1?x|?ln|1?x|?，----（1分） 3sinx0?x?sinxx?1。应解：第二步不满足或，是错误的，事实上lim?limx??x?sinxx??sinx0?1?x1?为×。
44.0?121??11?，-------（3分） y?????yx3?1?x1?x??即y??y???2?x11?，------（4分） ??3(x?1)3(x?1)?故
?ln201?e?2xdx?3ln2. ( ) 2dy1?x?211??x23。-----（5分） ????dx1?x?x3(x?1)3(x?1)?2x48.求不定积分[e?ln(1?x)]dx.
?解：因0?1?e?2x?1，由定积分保序性知：0?应为√。
?ln201?e?2xdx?ln2?3ln2，2解：[e?2x?ln(1?x)]dx??12xed(2x)??ln(1?x)dx ----（1分） 2?45.函数f(x,y)在点P(x,y)处可微是f(x,y)在P(x,y)处连续的充分条件.( ) 解：f(x,y)在点P(x,y)处可微可得f(x,y)在点P(x,y)处连续，反之不成立，应为应为√。
得分 评卷人
四、计算题（每小题5分，共40分）
49.计算定积分
?12xxe?xln(1?x)??dx -----（3分） 21?x??12x1??e?xln(1?x)???1?dx--（4分） ?21?x??12xe?xln(1?x)?x?ln(1?x)?C。----（5分） 2?02?2cos2xdx .
2解：因2?2cos2x?2(1?cos2x)?4cosx，所以
x46．求lim?x?0sinx.
limsinxlnxsinx~xsinxsinxlnx 解： limx?lime?ex?0??x?0x?0??ex?0limxlnx??
?02?2cos2xdx???04cosxdx??2|cosx|dx-----（2分）
02?
lnxlim?1x?0x??lim1x1x2?2?cosxdx?2??cosxdx------（4分）
2?20??2sinx?2sinx??2?2?4。-----（5分）
x?0??e2???e??e?limxx?0??20??e?1。
02x250.设z?f(esiny,3xy)，且f(u,v)为可微函数，求dz.
x2 解：令esiny?u,3xy?v ，有z?f(u,v)，利用微分的不变性得
47.求函数y?x?3dy1?x的导数.
dx1?x 15 页 第 5 页 共