验证,应选A.
A. y??y?0 B. y??y?0
33?2z25.设函数z?xy?xy，则? （ ）
?y?xA. 6xy B. 3x?3y C. ?6xy D. 3y?3x
2222C. y?y?1 D. y?y??1?0 解: y?Cex?y??Cex?y??y?0,应选B.
29. 微分方程y???y??xe?x的特解形式应设为y?? （ ）
A .x(ax?b)e?x解:
?z?z?x3?3xy2??3x2?3y2,应选B. ?y?y?x2 B.ax?b C.(ax?b)e D.x2(ax?b)e?x?x?x
26.如果区域D被分成两个子区域D1和D2且
??f(x,y)dxdy?5，
D1解:-1是单特征方程的根,x是一次多项式,应设y??x(ax?b)e,应选A.
??f(x,y)dxdy?1,则??f(x,y)dxdy? ( )
D2D30．下列四个级数中，发散的级数是 （ ）
???12n?3n1A. ? B. ? C. ?n D. ?2
nn?1n!n?11000n?12n?1n?A. 5 B. 4 C. 6 D.1 解:根据二重积分的可加性,
??f(x,y)dxdy?6,应选C.
D得分 评卷人 27.如果L是摆线?弧，则
?x?t?sint从点A(2?,0)到点B(0,0)的一段
?y?1?cost解:级数
2n?312n?3?0,是发散的,应选B. 的一般项的极限为?1000n500nn?11000?132x(xy?3xe)dx?(x?ysiny)dy? ( ) ?L3A.e(1?2?)?1 B. 2[e(1?2?)?1] C.3[e(1?2?)?1] D. 4[e(1?2?)?1]
2?2?2?2?二、填空题（每题2分，共30分）
f(x)?limf(x)?A. 31．limf(x)?A的____________条件是lim??x?x0x?x0x?x0?x?x?P?Q??x2?此积分与路径无关,取直线段?解:有,x从2?变到0,则 ?y?xy?0?0013xxxx0?L(xy?3xe)dx?(3x?ysiny)dy??2?3xedx?3?2?xde?3(xe?e)2?
2x解：显然为充要(充分且必要).
32. 函数y?x?sinx在区间(0,2?)单调 ，其曲线在区间?0,凸性为 的.
解：y??1?cosx?0?在(0,2?)内单调增加,y???sinx在?0,凹的.
????
?内的凹2?
?3[e(1?2?)?1],应选C.
28.以通解为y?Ce（C为任意常数）的微分方程为 ( )
x2???
π?
?内大于零,应为2?
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33.设方程3x2?2y2?z2?a(a为常数)所确定的隐函数z?f(x,y) ,则 38.函数f(x,y)?x3?y3?3xy的驻点为 . ?z?_____. ?x解：F?3x2?2y2?z2?a?Fz??2z,Fx??6x?
F??z3x??x??. ?xFz?z??z2?3x?3y?0???x解: ??(0,0),(1,1).
?z2??3y?3x?0???y39.若z?xy?e21?x34.
?1?dxx? .
x?txy3?2tany?z，则x?x? .
(1,0)解:
2tdt1?????21?dt?2t?2ln(1?t)?C ??1?x?1?t??1?t??dx解:f(x,0)?0??40?4x?z?z?0? ?x?x?0.
(1,0)?2x?2ln(1?x)?C.
35.
40.
?dx??40??3???3cosydy?___________ y?y112444?. cosydy??dy?cosydx??cosydy?sinx0000yy2??x. dx?________1?cosx解:
?dx??4x?xx????解：函数在区间??,?是奇函数，所以?3?dx?0.
??1?cosx1?cosx?33?341.直角坐标系下的二重积分
??D3f(x,y)dxdy(其中D为环域1?x2?y2?9)化为
?4，1)，B(?1，?3，1)，C(2，?4，0)为顶点的36. 在空间直角坐标系中,以A(0，?ABC的面积为__ . 极坐标形式为___________________________.
解：
?i2?j?k??f(x,y)dxdy??D2?0d??f(rcos?,rsin?)rdr.
1解：AB?{?1,1,0},AC?{2,0,?1}?AB?AC??110?{?1,?1,?2}，所以0?142.以y?C1e解:由y?C1e?3x?C2xe?3x为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 . ?C2xe?3x为通解知,有二重特征根-3,从而p?6,q?9,微分方程
?3x?ABC的面积为16AB?AC?. 22为y???6y??9y?0.
?x2y2?1??37. 方程?9在空间直角坐标下的图形为__________. 4?x??2?解:是椭圆柱面与平面x??2的交线,为两条平行直线.
43.等比级数
?aqn?0n?n(a?0),当_______时级数收敛,当_______时级数发散.
解: 级数
?aqn?0?是等比级数, 当|q|?1时,级数收敛,当|q|?1时,级数发散.
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144.函数f(x)?2展开为x的幂级数为__________________
x?x?247. 求limx?0x411?11?1111?????????解: f(x)?2 ?x3?1?x2?x?31?x6x?x?21?2n??(?1)n?11?1?x1?nnn???(?1)x??n????x,(?1?x?1). n?1?3n?06n?0233?2?n?0??x2.
0t31?t2dtx4解：limx?0?x2???limx?0004x3x230t31?t2dt1?x?2x4?lim21?x4x?03?2.
48.已知y?lnsin(1?2x),求
dy. dx?n?2?45.???的敛散性为________的级数.
n?n?1??n?2??2??lim?1?? 解:limun?lim??n??n??n???n??n?
nn??(?2)2?n解：
dy1?sin(1?2x)???cos(1?2x)?1?2x????2cos(1?2x) ?dxsin(1?2x)sin(1?2x)sin(1?2x)?e?2?0,级数发散.
1?2x). ??2cot(49. 计算不定积分xarctanxdx.
解
得分 评卷人
：
?三、计算题（每小题5分，共40分）
46．求lim???x2?x2x21??xarctanxdx?arctanxd?arctanx??dx2????2?221?x??x21?1??arctanx???1?dx 2?22?1?x??x?2??x??x2?3???2x2?52.
x2?52x22?x2?2??解：lim?x???x2?3???x2?52??1??lim?x????1??2x23x2???????limx??2???1?2?x??3???1?2??x?522????1?2?x??52x211?arctanx?x?arctanx?C. 22252x23??(?)32
50.求函数z?ecos(x?y)的全微分. 解：利用微分的不变性,
x3????1?2??x? ?2??lim?1?2?x??x??3??lim?1?2?x???x?x22dz?d[excos(x?y)]?exdcos(x?y)?cos(x?y)dex ??exsin(x?y)d(x?y)?cos(x?y)exdx ??exsin(x?y)[dx?dy]?cos(x?y)exdx ?ex[cos(x?y)?sin(x?y)]dx?exsin(x?y)dy.
2????1?2?x??x23??(?)323????1?2??x?52?ee?32?e.
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51．计算
??Dxd?，其中D是由y?2,y?x,xy?1所围成的闭区域. 2y故收敛半径R?1. 3解：积分区域D如图所示:把区域看作 Y型,则有
?11当x?时,级数化为?,这是调和级数,发散的;
3n?1n?0?1D??(x,y)|1?y?2,?x?y?故
?y?, ?2 ?1(?1)n当x??时,级数化为?,这是交错级数,满足莱布尼兹定理的条件,收敛的;
3n?0n?1y ??D2yxxdxdy?dydx 122??1yyyy211dy1xdx??2dy?1yy2?yy?x?x?y
所以级数的收敛域为??
?11?,?. 33??得分 评卷人 ??2121 xo 1 2yyxy?1?x?1
x 1 y
四、应用题（每题7分，共计14分）
54. 过曲线y?x2上一点M(1,1)作切线L，D是由曲线y?x2，切线L及x轴所围成的平面图形，求
（1）平面图形D的面积;
（2）该平面图形D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积. 12?1?1?1?17? ???1?4?dy??. y??3??12?y?2?3y?14852．求微分方程y??ycosx?e?sinx2满足初始条件y(0)??1的特解.
解:这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次微分方程y??ycosx?0的通解为
y?Ce?sinx,设y?C(x)e?sinx是原方程解,代入方程有C?(x)e?sinx?e?sinx,
?sinx即有C?(x)?1,所以C(x)?x?C,故原方程的通解为y?Ce?xe?sinx, ?sinx把初始条件y(0)??1代入得:C??1,故所求的特解为y?(x?1)e.
y 解：平面图形D如图所示：
因y??2x,所以切线L的斜率k?y?(1)?2, 切线L的方程为y?1?2(x?1),即y?2x?1
取x为积分变量，且x?[0,1]. （1）平面图形D的面积为
1 y?x2?x?y
3nn53．求级数?x的收敛半径及收敛区间(考虑区间端点).
n?1n?0?o 1 1 21112x
1
解：这是标准的不缺项的幂级数,收敛半径R?,
?
x32S??xdx??1(2x?1)dx?03211?(x?x)02?1. 12an?13n?1n?1n?1而??lim?lim?n?3lim?3,
n??an??n?2n??n?23n（2）平面图形D绕x轴旋转一周所生成旋转体的体积为
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511 Vx??xdx??1(2x?1)dx??02?14?12x50?4x3??2?????2x?x??3?130.
??2连续,且有f(e)?22?0,f(e3)?3?e2?22?6?e2?0,由连续函数的零点定理知方程f(x)?0即lnx??x??1?cos2xdx在区间(e,e3)有至少有一实数根. e011另一方面, f?(x)??在区间(e,e3)内恒小于零,有方程f(x)?0,即
xe?xlnx???1?cos2xdx在区间(e,e3)有至多有一实数根.
e0?x综上所述, 方程lnx???1?cos2xdx在区间(e,e3)内仅有一个实根.
e055.一块铁皮宽为24厘米,把它的两边折上去,做成一正截面为等腰梯形的槽(如下图),要使梯形的面积A最大,求腰长x和它对底边的倾斜角?.
解: 梯形截面的下底长为24?2x,上底长为
24?2x?2xcos?,高为xsin?,所以截面面积为
A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin?, 2?(0?x?12,0???)
222x ?
24?2x
即A?24xsin??2xsin??xsin?cos?,
??A?24sin??4xsin??2xsin?cos??0?x?8???x?令?得唯一驻点??.
?A?????24xcos??2x2cos??x2(cos2??sin2?)?03?????根据题意可知,截面的面积最大值一定存在,且在D:0?x?12,0???函数在D内只有一个可能的最值点,因此可以断定x?8,??
得分 评卷人 ?内取得,又2?时,截面的面积最大. 3五、证明题（6分）
?x356. 证明方程lnx???1?cos2xdx在区间(e,e)内仅有一个实根.
e0?xf(x)?lnx??1?cos2xdx, 证明：构造函数 ?0e?xx3即有f(x)?lnx??2?sinxdx?lnx??22,显然函数f(x)在区间[e,e]0ee 第 15 页 共 15 页