dz?fu?(u,v)du?fv?(u,v)dv?fu?d(exsiny)?fv?d(3x2y)----（3分） ?fu?(exsinydx?excosydy)?fv?(6xydx?3x2dy)------（4分） ?(exsinyfu??6xyfv?)dx?(excosyfu??3x2fv?)dy---（5分） 51．计算
??2n?0?12n?1x2n?1x?(?2,2)。--（5分）
53．求微分方程x2dy?(y?2xy?x2)dx?0的通解. 解：方程可化为y????xdxdy，其中D为圆环区域：1?xD222?y?4.
22221?2xy?1，这是一阶线性非齐次微分方程，---（1分） x21解：积分区域D如图07-1所示：D的边界x?y?1、x?y?4用极坐标表示分别为r?1，r?2；故积分区域D在极坐标系系下为
1?2x2xy?0它对应的齐次方程y??的通解为y?Cxe，---（2分） 2x设原方程有通解y?C(x)xe，代入方程得C?(x)xe?1，
21x21x?(r,?)|0???2?,1?r?2?，----（2分）
故
y r?1 r?2 ??xD2dxdy??d??rcos??rdr----（3分） 012?222o x
1?即 C?(x)?2ex，--（3分）
x?1?所以 C(x)??2exdx?ex?C，---（4分）
x111 ??2?0cos2?d??r3dr??122?0r442cos2?d?
1152?152?2cos?d???2cos2?d?---（4分） ??40802?图07-1
故所求方程的通解为y?Cx2e?x2。---（5分）
得分 评卷人
五、应用题（每题7分，共计14分）
54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为
V立方米，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方米b元,问长、宽、高各为多少米时，
1x152?15115? ?。---（5分） (1?cos2?)d??(??sin2?)??0882402x52．将展开为x的幂级数，并写出收敛区间.
4?x22x11 解： 因???22?x2?x4?x?1??xn1?xn?01x2(1?)2?1x2(1?)2；---（2分）
才能使污水处理池的造价最低？
解：设长方体的长、宽分别为x,y ，则高为由题意可得
x?(?1,1)。
?nV，又设造价为z，---（1分） xy?x?????所以
xn?0?2?1?21?x?x?(?2,2)；?????xn?0?2?1?2nn1?nx?(?2,2)。--（3分）
z?axy?2b(x?y)V2bV2bV?axy??xyyx(x?0,y?0)；---（3分）
??1?(?1)n2x1??x?1??x?????????????故?2n?12n?0?2?4?x22n?0?2?n?0??n??x?而
x?(?2,2)--（4分）
?z2bV?z2bV?ay?2; ?ax?2;在定义域内都有意义. ?xx?yy 15 页 第 6 页 共
2bV??z?ay??0?2bVx2??x令?得唯一驻点x?y?3，-----（5分）
?z2bVa??ax??02??yy?由题可知造价一定在内部存在最小值，故x?y?3或Vy??(lny)dy??(lny)y??2lnydy
111?e22e?e ??e?2?lnydy??e?2?ylny1?2?dy
11?ee?e ??e?2?e?2?(e?1)??(e?2)。 得分 评卷人
56.若f?(x)在[a,b]上连续，则存在两个常数m与M，对于满足a?x1?x2?b的任意两点x1,x2，证明恒有
六、证明题（6分）
2bV就是使造价最小的取值，此a时高为3aV
。 2b
2
2
2bV2bVaV
所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为3、3、3时，工程
aa2b
造价最低。---（7分）
55. 设平面图形D由曲线y?ex,直线y?e及y轴所围成.?求： （1）平面图形D的面积;?
(2) 平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.? e 解：平面图形D如图07-2所示：---（1分）
取x为积分变量，且x?[0,1] （1）平面图形D的面积为
m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1).
y
y?ex
证明： 因f?(x)在[x1,x2]有意义，从而f(x)在[x1,x2]上连续且可导，即f(x)在
[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件，-----（2分）
故存在??(x1,x2)，使得
1 x 1 f(x2)?f(x1)?f?(?)，----（3分）
x2?x1o 又因f?(x)在[a,b]上连续，根据连续函数在闭区间上最值定理知，f?(x)在[a,b]上既有最大值又有最小值，不妨设m,M分别是最小值和最大值，从而x?(a,b)时，有
S??(e?ex)dx----（3分）
01图07-2 ?(ex?ex)?1。----（4分）
01m?f?(x)?M。------（5分）
即 m?（2）平面图形D绕y轴旋转一周所生成 旋转体的体积为
Vy?2?xe?edx?2?exdx?2?xedx
000f(x2)?f(x1)?M，
x2?x1故 m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1)。---（6分）
x??1??1?1xx2 ?2?e210?2??xdex??e?2?xex?2??exdx
000111 ??e?2?e?2?ex10??(e?2)。-----（7分）
15 页 第 7 页 共
河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
解: lim?x?03?13?11x1x??13?13ln3??1,lim??lim?1?B. 11??x?0x?013x?13xln31x001x高等数学 试卷
题号 分数
得分 评卷人 一 二 三 四 五 总分 核分人 4.下列极限存在的为 （ ）
sin2x1x2?2cos D.lim A.lime B. lim C.lim
x???x?0x???x?3x?0?xxx 解:显然只有limsin2x?2,其他三个都不存在,应选B.
x?0x一. 单项选择题（每题2分，共计60分）
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.
5. 当x?0 时，ln(1?x2)是比1?cosx的（ ）
A．低阶无穷小 B．高阶无穷小 C．等阶无穷小 D.同阶但不等价无穷小
1. 函数f(x)?ln(1?x)?x?2的定义域为 （ ）
xx2~?D. 解: ln(1?x)~x,1?cosx?2sin22222 A. [?2,?1] B. [?2,1] C. [?2,1) D. (?2,1) 解：??1?x?0??2?x?1?C.
?x?2?02. lim1?2cosx? （ ）
????x?3sin?x??3??1?1?(x?1)sin,x??1?x?1??1?x?0，则f(x) （ ） 6.设函数f(x)??1,
?arctanx,x?0??A．在x??1处连续，在x?0处不连续 B．在x?0处连续，在x??1处不连续 C．在x??1，0，处均连续 D．在x??1，0，处均不连续 解:lim?1f(x)?1,lim?f(x)?1,f(?1)?1? f(x)在x??1处连续;
x??1x??1x?0?1 A.1 B. 0 C. 2 D.3
001?2cosx2sinx???lim?解：lim????????x?x?3cos?x?3sin?x???33????3. 点x?0是函数y?2?132?3?D.
limf(x)?1,limf(x)?0,f(0)?1? f(x)在x?0处不连续;应选A. ?x?03?13?11x1x7.过曲线y?arctanx?e上的点(0,1)处的法线方程为 （ ）
的 ( )
A. 2x?y?1?0 B. x?2y?2?0 C. 2x?y?1?0 D. x?2y?2?0
xA.连续点 B. 跳跃间断点 C.可去间断点 D. 第二类间断点
15 页 第 8 页 共
解: y??11x??e?f(0)?2?k???D. 法221?x?(x)?0，则
x?0x解: y???6x?0?x?0?(0,?2),应选B.
8.设函数f(x)在x?0处可导，f(x)?f(0)?3x??(x)且lim13. 曲线y?1 （ ）
|x?1| f?(0)? （ ）
A. 只有水平渐进线 B. 既有水平渐进线又有垂直渐进线
A. -1 B.1 C. -3 D. 3 解：f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?3x??(x)?(x)?lim??3?lim??3,应选C. x?0x?0x?0xxC. 只有垂直渐进线 D. 既无水平渐进线又无垂直渐进线 解：limx9.若函数f(x)?(lnx)(x?1) ，则f?(x)? （ ）
11?0, lim???B.
x??|x?1|x?1|x?1| A. (lnx)xx?1 B. (lnx)x?1?(lnx)xln(lnx)
214.如果f(x)的一个原函数是xlnx,那么xf??(x)dx? （ ）
?C. (lnx)ln(lnx) D. x(lnx) 解：f(x)?(lnx)?e应选B.
3?d2y?x?cost 10.设函数y?y(x)由参数方程?确定，则3dx2??y?sintx A. lnx?C B. x?C
x?12xxln(lnx)?y??(lnx)[xln(lnx)]??(lnx)x?(lnx)ln(lnx),
xC. xlnx?C D. C?x 解：f(x)?(xlnx)??1?lnx?f??(x)??31??x2f??(x)dx???dx??x?C,2x? （ ）
x??4应选D.
15.
A.-2 B.-1 C.?442 D. 2 33dx?x2?4x?3? ( )
A .
dysintd2y11d2y???2??? 2解：22dxcostdxcost3costsintdx?x??442,应选D. 31x?31x?1ln?C B.ln?C 2x?12x?3C. ln(x?3)?ln(x?1)?C D. ln(x?1)?ln(x?3)?C
11.下列函数中，在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理条件的是 （ ）
1x2A.y?e B.y?ln|x| C.y?1?x D.y?2
x 解：验证罗尔中值定理的条件,只有y?1?x满足,应选C.
12. 曲线y?x?5x?2的拐点是 （ ） A.x?0 B.(0,?2) C.无拐点 D. x?0,y??2
32解:
dxdx1?11?1x?3???dx?ln?C,应选A. ?x2?4x?3?(x?3)(x?1)2???x?3x?12x?1??1dx?01?x4，则I的取值范围为 ( )
1?1A .0?I?1 B.?I?1 C. 0?I? D.?I?1
24211?1,根据定积分的估值性质,有 解:此题有问题,定积分是一个常数,有?21?x416.设I? 15 页 第 9 页 共
1?I?1,但这个常数也在其它三个区间,都应该正确,但真题中答案是B. 217. 下列广义积分收敛的是 （ ） A.
????21. 若I?A
?e0x3f(x2)dx 则I? ( )
e0?31x3dx B. ?1lnxdx C.?1x??xdx D. ?e?xdx
0???e20xf(x)dx B ?xf(x)dx
解:显然应选D. 18.
1e21eC ?xf(x)dx D ?xf(x)dx
2020x?t1e21e21e222解: I??xf(x)d(x)????tf(t)d(t)??xf(x)d(x),应选C.
2020202??3|1?x|dx? （ ）
A.2|1?x|dx B.
0?3??1?3(x?1)dx??(1?x)dx
1322.直线
x?2y?4z??与平面4x?3y?7z?5的位置关系为 591 C. 解：
?1?3(1?x)dx??31(x?1)dx D.
311?3(1?x)dx??(x?1)dx
113?323A. 直线与平面斜交 B. 直线与平面垂直 C. 直线在平面内 D. 直线与平面平行
解：s?{5,9,1},n?{4,?3,7}?s?n ,而点(-2,-4,0)不在平面内,为平行,应选D. 23.limx?0y?0?3?3|1?x|dx??1?3|1?x|dx??|1?x|dx??(1?x)dx??(x?1)dx,应选D.
12????19.若f(x)可导函数，f(x)?0，且满足f(x)?ln2?2?x0f(t)sintdt，则f(x)?
1?cost（ ）
x2?y2x?y?1?122? （ ）
1?cosx) B. ?ln(1?cosx)?C A. ln(1?cosx) D. ln(1?cosx)?C C. ?ln(f(t)sintf(x)sinxdt两边求导有:2f(x)f?(x)??2 解：对f(x)?ln2?2?,
01?cost1?cosxsinxsinxd(1?cosx)?f(x)???dx??即有 f?(x)??
1?cosx1?cosx1?cosx22x A. 2 B.3 C. 1 D.不存在 解: limx?0y?0x2?y2x?y?1?122?limx?0y?0(x2?y2)(x2?y2?1?1)x?y2222
?lim(x?y?1?1)?2,应选A.
x?0y?0?ln(1?cosx)?C,还初始条件f(0)?ln2,代入得C?0,应选A.
11f(x)dx，则f(x)? （ ） 2??11111A. x? B. x? C. x? D. x?
223311 解：令a??f(x)dx,则f(x)?x?1?a,
?121111故有a??f(x)dx??(x?1?a)dx?2?a?a?1?f(x)?x?,应选C.
?1?12220. 若函数f(x)满足f(x)?x?1?24.曲面z?x?y在点（1，2，5）处切平面方程（ ） A．2x?4y?z?5 B．4x?2y?z?5 C．x?2y?4z?5 D．2x?4y?z?5
22?(1,2,5)?4,Fz?(1,2,5)??1? 解:令F(x,y,z)?x?y?z,Fx?(1,2,5)?2,Fy2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0?2x?4y?z?5,也可以把点（1，2，5）代入方程
22第 10 页 共 15 页