兰州理工大学毕业设计(论文)
ik?r?(r)?eu(r)
其中，u(r)具有与晶格相同的周期特性，即
u(r?Rn)?u(r)，
它表达的是Bloch函数，用它描写的电子也称为Bloch电子。 2. Bloch波和能带的性质 Bloch波和能带的性质如下：
En（k）=En(-k) ;
?*nk(r)=?n,?k(r) ;
；
En(k?G)?En(k)?n,k?G(r)??nk(r)3. 能带：
。
晶体电子的能量只能某些与K有关的允许值E(k），这些能量允许E(k)形成一个个能量准连续区，也就是我们所常说的能带。不同的量子数n代表不同的能带，不同的能带之间存在着能隙。
晶格电子可用通过晶格周期性调幅的平面波表示。由此我们知道k的物理意义 ——波矢,k的取之个数与构成晶体的原胞数目N相同。一个能带的具体结构是由k空间中的能量函数E(k)描述的，E(k)代表能带中电子态k的能量。能带的数学描述无限晶体的电子结构用能带图来描述，能带图给出k空间中各点的电子轨道的能量，计算大量的点可以得到很好的能带曲线。所以我们将k值限定在一个包括所有不等价k的区域求解薛定谔方程，这个区域称为布里渊区(Brillouin) 。
在固体物理学中，基于绝热近似、平均场近似、周期势场得到固体的能带结构（又称电子能带结构），描述了禁止或允许电子所带有的能量，这是周期性晶格中的量子动力学电子波衍射引起的，由于这些电子的能谱形成能带机构，所以将这种建立在近似和假设基础上的固体电子理论称为能带理论。
半导体的禁带宽度从0.1～1.5电子伏，绝缘体的禁带宽度从1.5～1.0电子伏。在任何温度下，由于热运动，满带中的电子总会有一些具有足够的能量激发到空带中，使之成为导带。由于绝缘体的禁带宽度较大，常温下从满带激发到空带的电子数微不足道，宏观上表现为导电性能差。半导体的禁带宽度较小，满带中的电子只需较小能量就能激发到空带中，宏观上表现为有较大的电导率（见半导体）。
能带理论在阐明电子在晶格中的运动规律、固体的导电机构、合金的某些性质和金属的结合能等方面取得了重大成就，但它毕竟是一种近似理论，存在一定的局限性。例如某些晶体的导电性不能用能带理论解释，即电子共有化模型和单电子近似不适用于这些晶体。多电子理论建立后，单电子能带论的结果常作为多电子理论的起点，在解决现代复杂问题时，两种理论是相辅相成的。
4. 能带结构的计算
计算能带的程序的输入比大多数计算分子的程序要复杂得多。分子几何构型的输入采用分数坐标，还必须提供原胞格子矢量和晶体学角度，还可能有必要提供k点的列表及其简并度。检查各个输入中控制收敛的选项对于计算精度的影响是最保险的措施，软件附带的手册可能会给出一些推荐值。研究者要
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想完成能带计算应当投入大量时间，尤其在学习使用软件阶段。随着时间推移人们倾向的模拟晶体的计算方法是不断变化的。
能带结构的计算，通常是采用建立在密度泛函理论基础之上的局域密度近似方法，被广泛采用的方法有：原胞法、缀加平面法、格林函数法、正交化平面波法、赝势法等。
我们在此次课题研究中，主要是应用赝势法来计算晶体的能带结构。所谓赝势就是把离子实的内部势能用假想的势能取代真实的势能，但在求解波动方程时，不改变能量本征值和离子实之间区域的波函数。由赝势求出的波函数叫赝波函数，在离子实之间的区域真实的势和赝势给出同样的波函数。 CASTEP中有两种赝势，一种是规范-守恒赝势(Norm-conserving pseudopetential),另一种是超软赝势(ultrasoft pseudopotential)。
模守恒赝势是相当有名的而且是经彻底验证的。在这种方法中，赝波函数在定义的核心区域的截止半径以上是符合全电子波函数的。它要求改造后的波函数其在截止半径Rc之内的总电荷量仍要等于未改造前Rc之内总量的大小，这样赝势的精确度能够大幅的提升。模守恒赝势能够在实空间或是倒空间的波函数来使用；实空间的方法提供了对于系统而言比较好的可测量性。本次毕业设计就使用的模守恒赝势方法，他在计算电子结构方面更精确。
超软赝势其特色是让波函数变得更平滑，也就是所需的平面波基底函数更少。Vanderbilt所提出来的超软赝势的想法是不用释放非收敛性条件,用这样的方法来产生更软的赝势。在这个方法里,虚波函数在核心范围是被允许作成尽可能越软(平滑)，以致于截止能量可以被大大的减小。由于计算代价会比较高，因此目前超软赝势(USP)只可以在倒置空间中使用。
1.4.3 能态密度
在孤立原子中，电子的本证状态形成分立能级，每个能级的状态数目可用简并度?i表示。在
固体中，每个能带中的各能级是非常密集的，形成准连续分布，不可能标明每个能级及其状态数，因此我们引入了“能态密度”的概念。
假设在第n个能级中，能量为E～E+△E时的状态数目为定义为能
gn（E）=常数
表示一个等能面。又由于能态（波矢K的代表点）在k空间是均匀分布的
??，则第n个能带上的状态密度gn（E）
V
3
(2?)密度为
，所以
En(k)与En(k)??En(k)两等能面之间的状态数目
??n?(2V??Vk?)3 （1-3）
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式中，
?Vk为En(k)与En(k)??En(k)等能面之间在k空间的体积如下图
图1-1.K空间等能面示意图 由上图我们可以看出 式中，
?Vk??dSdk?
dS为等能面上的体积元，
dk?为两等能面之间的垂直距离，它垂直于dS显然有
dk??VkEn(k)??En
式中，
?VkEn?k?表示沿等能面法线方向能量的变化率，所以
dk?=
于是
?En?kEn(k)
??n??EnVdS(2?)3??kEn(k)
gn(E)?lim所以
??nV?3?E?0?E(2?)n?dS?kEn(k)
考虑到每个转台可容纳自选相反的两个电子，则状态密度加倍，有
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gn(E)?V4?3?dS?kEn(k)
可以看出，状态密度与晶格整栋的模式密度是相类似的。 举一个简单的例子，若电子是完全自由的，则
?2?2k2222E(k)?(kx?ky?kz)?2m2m
k?只与k的模有关，因此k空间的等能面是球面，其半径为
2mE?
因而 因此，自由电子的状态
dE?2k?kEn(k)??dkm
Vm24?k4?3?2k
311gn(E)?
V4?3?kEn(k)?dS?2V2m22(2)E?CE22(2?)? =
C?式中
2V322m2(2?)(2)?
g(E)随E以抛物线规律上升。
态密度可定义为（单位体积）单位能量上的状态数，简单的说就是在某个能量附近，体系状态的分布的稠密程度。
1.4.4纳米线定义
纳米线是一种纳米尺度(1纳米=10^-9米)的线。 换一种说法，纳米线可以被定义为一种具有在横向上被限制在100纳米以下（纵向没有限制）的一维结构。这种尺度上，量子力学效应很重要,因此也被称作\量子线\。根据组成材料的不同，纳米线可分为不同的类型，包括金属纳米线（如：Ni，Pt，Au等），半导体纳米线（如：InP，Si，GaN 等）和绝缘体纳米线（如：SiO2，TiO2等）。
作为纳米技术的一个重要组成部分，纳米线可以被用来制作超小电路。典型的纳米线的纵横比在1000以上,因此它们通常被称为一维材料。纳米线具有许多在大块或三维物体中没有发现的有趣的性质。这是因为电子在纳米线中在横向受到量子束缚，能级不连续。这种量子束缚的特性在一些纳米线中（比如碳纳米管）表现为非连续的电阻值。这种分立值是由纳米尺度下量子效应对通过纳米线电子数的限制
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引起的。这些孤立值通常被称为电阻的量子化.在电子，光电子和纳电子机械器械中，纳米线有可能起到很重要的作用。它同时还可以作为合成物中的添加物、量子器械中的连线、场发射器和生物分子纳米感应器，纳米线现在仍然处于试验阶段。不过，一些早期的实验显示它们可以被用于下一代的计算设备。为了制造有效电子元素，第一个重要的步骤是用化学的方法对纳米线掺杂。下一步是找出制作PN结这种最简单的电子器械的方法。这可用两种方法来实现。
第二章 计算方法及模型建设
本文采用基于第一性原理计算的密度泛函理论和平面波赝势方法，所有的计算由CASTEP软件包完成．计算中，用广义梯度近似(GGA)中的PBE来处理电子间的交换关联能，选取的Mg和O原子的价电子组态分别为Mg一2p63s2和O—2s22p4,对于第一性原理，就模拟而言，有两种模拟方法，一是第一性原理计算，二是原子模拟。第一性原理计算是基于量子力学DFT理论；原子模拟是不考虑电子的影响，在一个比较大的尺度上的计算，它可以计算分子级别的模拟，可以模拟材料的缺陷等。
2．1第一性原理计算输出结果介绍
2.1.1能带结构
固体的能带结构(又称电子能带结构)描述了禁止或允许电子所带有的能量，这是周期性晶格中的量子动力学电子波衍射引起的。材料的能带结构决定了多种特性，特别是它的电子学和光学性质。能带图的横坐标是在模型对称性基础上取的K点。为什么要取K点呢?因为晶体的周期性使得薛定谔方程的解也具有了周期性。按照对称性取K点，可以保证以最小的计算量获得最全的能量特征解。能带图横坐标是K点，其实就是倒格空间中的几何点。其中最重要也最简单的就是gamma那个点，因为这个点在任何几何结构中都具有对称性，所以在castep里，有个最简单的K点选择，就是那个gamma选项。纵坐标是能量。那么能带图应该就是表示了研究体系中，各个具有对称性位置的点的能量。我们所得到的体系总能量，应该就是整个体系各个点能量的加和。
量子力学计算表明，晶体中若有N个原子，由于各原子间的相互作用，对应于原来孤立原子的每一个能级，在晶体中变成了N条靠得很近的能级，称为能带。分裂的每个能带都称为允带，允带之间因没有能级称为禁带，禁带的宽度对晶体的导电性有重要的作用。若上下能带重叠，其间禁带就不存在。对允带而言，完全被电子填满的能带为满带，所有能级均未被电子填充的能带为空带。能量最高的满带称为价带，能量最低的空带称为导带。把在布里渊区中能量最高的价带称为价带顶，能量最低的导带称为导带底，分别用￡V和q表示，禁带宽度Eg就是价带项和导带底的能量间隔。某物质的能带结构图形，横坐标表示晶体倒格矢空间的位置分布，根据能带结构在不同点的疏密情况，可以直观得出电子在不同点的分布情况；根据能带结构图禁带宽度的值，它反映了电子从价带跃迁到导带所需要的能量，由此能量的大小，可以知道模拟物质的导电性能，也可以知道材料的光学跃迁模式。能带的宽窄在能带的分析中占据很重要的位置。能带越宽，也即在能带图中的起伏越大，说明处于这个带中的电子有效质量越小、非局域(non一)ocaD的程度越大、组成这条能带的原子轨道扩展性越强。如果形状近似于抛物线形状，一般而言会被冠阻类sp带(sp-like band)之名。反之，一条比较窄的能带表明对应于这条能带的本征
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