习题二 一维随机变量及其分布
A组
一、填空题
5．三个大小相同的小球随机投入三个盒子中，设每个盒子至多可装三个球，则空盒子的数目X的分布律为 。
解 此系古典概型问题。X的所有可能的取值为0，1，2，据古典概型有
111m0C3C2C16P(X?0)???，
n3327111C3C218m1C3P(X?1)???， 3n327111C3C3m2C33P(X?2)???。
n3327（说明：每个球都有机会盒子投入三个盒子中的任何一个内，且机会是均等的，于是三个球
3投入三个盒子内的各种情形共有n?3种。当X?0，即不出现空盒子时，可视第一个球可
投入三个盒子中的任何一个内，第二个球可投入另外两个盒子中的任何一个内，而第三个球
111只能投入剩下的最后一个盒子内，故含X?0的情形只有m0?C3C2C1种。类似的，可得111111m1?C3C3C2，m2?C3C1C1）
B组
1．现有7件产品，其中一等品4件，二等品3件。从中任取3件，求3件中所含一等品数的概率分布。
解 设所取3件产品中所含一等品数为X，则X可能的取值为0，1，2，3 由古典概型知
312C3C4C112P{X?0}?3?， P{X?1}?33?，
C735C735213C4C318C44P{X?2}?3?，P{X?1}?3?
C735C735 1
所以X的概率分布为
X 0 1 2 P 3 1 35 12 35 18 354 352．一个口袋中有六个球，在这六个球上分别标有?3,?3,1,1,1,2的数字，从这口袋中任取一个球，求取得的球上标明的数字X的分布列和分布函数。
解 由古典概型知
P{X??3}?21311?， P{X?1}??，P{X?2}? 63626 2 所以X的分布列为
X -3 1 P 1 6?0,x?0?3．随机变量X的分布函数为F(x)??Ax,0?x?1,求：（1）系数A；（2）X的概
?1,x?1? 率密度f(x)；（3）P{0?X?0.25}。
解 X为连续型随机变量，其分布函数为连续函数，故有
1 31 2A?F(1?0)?F(1)?1
于是当x?0时，f(x)?F?(x)?0；
当x?0时，f?(0)?lim?x?0F(x)?F(0)0?0?lim?0， ?x?0xx f?(0)?lim?x?0F(x)?F(0)?limx?0?x12xx?0???； x；
当0?x?1时，f(x)?F?(x)?(x)??当x?1时，f?(1)?lim?x?1F(x)?F(1)x?1?lim?0 x?1?xxF(x)?F(1)1?1?lim?0 x?0?xx2
f?(1)?lim?x?1故f(1)?0；
当x?1时，f(x)?F?(x)?(1)??0。
?1,0?x?1?所以所求概率密度为 f(x)??2x
?0,其它?而 P{0?X?0.25}?F(0.25)?F(0)?0.25?0?0.5
4．连续地掷一颗骰子，直到出现最大点数6为止，用X表示掷骰子的次数，求X的概率分布，并求P{X?3}。
解 设A?{掷一次骰子出现点数6}，则P(A)?1，于是X为几何分布即61X~G(P)?G()，其分布为
615P{X?k}?(1?p)k?1p?()k?1,k?1,2,?
66而
P{X?3}?1?P{X?3}?1?P{X?1}?P{X?2}
11525?1????
666365．某射手有5发子弹，射一次，命中率为0.9，若命中就停止射击，若未命中就一直射到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列。
解 由题设X的所有可能取值为1，2，3，4，5，而由条件概率可得
P{X?k}?0.9(1?0.9)k?1,k?1,2,3,4
即
P{X?1}?0.9， P{X?2}?0.09，
P{X?3}?0.009， P{X?4}?0.00 0而由全概率公式得
P{X?5}?0.9(1?0.9)4?(1?0.9)5?0.0001
所以X的分布列为
X 1 2 0.09 3 4 5 0.0001 3
P
0.9 0.009 0.0009 6．在相同条件下相互独立进行5次射击，每次射击击中目标的概率为0.7，求击中目标的次数X的分布律及分布函数。
解 X~B(5,0.7)，由二项分布概率公式可得
kk5?k pk?P{X?k}?P,5(k)?C50.7(1?0.7)k?0,1,2,3,4,5
故X的分布律为
p0?0.00243，p1?0.02835，p2?0.1323 p3?0.3087，p4?0.36015，p5?0.16807 而根据
F(x)?可得X的分布函数为
?P{X?k}
k?x0,x?0.??0.00243,0?x?1,??0.03078,1?x?2,? F(x)??0.16308,2?x?3,
?0.47178,3?x?4,??0.83193,4?x?5,?1,x?5.?7．设一个盒子中有5个纪念章，编号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3个，以X表示取出的3个纪念章上的最大号码，（1）求X的分布列；（2）求P{X?5}。
解 由题设X的所有可能取值为3，4，5，而由古典概型可得
22C323C2C416 P{X?3}?3?，P{X?4}?3?，P{X?5}?3?
C510C510C510所以X的分布列为
X 3 4 5 P 且
1 103 106 10P{X?5}?P{X?3}?P{X?4}?
132?? 101054
8．袋中有四个红球，两个白球，今从中逐个取球，共取5次，在下列两种情况下求取得红球数X的分布列：（1）每次取出的球，观其顔色后又放回袋中；（2）每次取出的球不放回袋中。
解 （1）X~B(5,)，由二项分布概率公式可得 pk?P{X?k}?P5(k)?C5()(1?)故X的分布律为
k2323k235?k,k?0,1,2,3,4,5
11040808032，p1?，p2?，p3?，p4?，p5? 243243243243243243（2）从六个球中不放回地逐个取球5次，最后袋中剩下或红或白一球，因此X的所有可能取值为3，4。由古典概型按组合算法可得X的分布律为
p0?3241C4C22C4C21 P{X?3}?，?P{X?4}?? 55C63C63若按排列算法，则有
3241C4C2P52C4C2P51，P{X?3}??P{X?4}?? 55A63A639．从一批含有7件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品，设每次抽取时，所
面对的各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情况下分别求出直到取得正品时抽取产品数X的分布列：
（1）每次取出产品检定后又放回，再取下一件产品； （2）每次取出产品后不放回；
（3）每次取出一件产品后，总以一件正品放回这批产品中。
7)，其分布为 1073P{X?k}?p(1?p)k?1?()k?1,k?1,2,?
1010（2）由题设X的所有可能取值为1，2，3，4，而由条件概率可得X的分布列为
7377? P{X?1}?， P{X?2}?，
1010930327732171P{X?3}????， P{X?4}
109812010987120（3）由题设X的所有可能取值为1，2，3，4，而由条件概率可得X的分布列为
73824?? P{X?1}?， P{X?2}，
10101010032954321106P{X?3}????， P{X?4}
1010101000101010101000解 （1）X为几何分布即X~G(P)?G(
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