P{Y?5}?P{X?1}?5?0.2?0.84?0.4096， P{Y?0}?P{X?2}?10?0.22?0.83?0.2048，
P{Y??2}?P{X?3}?10?0.23?0.82?5?0.24?0.8?0.25?0.05792
故所求概率分布为 0 Y ?2 5 10 0.2048 0.4096 0.32768 11?2X 19．设随机变量X服从参数为的指数分布，即X~E()，证明：Y?1?e在
22P 区间（0，1）上服从均匀分布。
证明 已知
0.05792 ?2e?2x,x?0 fX(x)??
0,x?0?则 于是
1）若y?1即1?y?0时，恒有e?2X?1?y，因此这时有 FY(y)?1
1?ln(1?y)1fX(x)dx 而当y?1时，有 FY(y)?P{X??ln(1?y)}??2??2FY(y)?P{Y?y}?P{1?e?2X?y}?P{e?2X?1?y}
2）若0?y?1，则有? FY(y)?1ln(1?y)?0，从而 21?ln(1?y)20?0??fX(x)dx??fX(x)dx??1?ln(1?y)202e?2xdx?1?eln(1?y)?y
3）若y?0，则有?1ln(1?y)?0，从而 2 FY(y)??1?ln(1?y)2??fX(x)dx??1?ln(1?y)2??0dx?0
?1,0?x?1,?所以 fY(Y)?FY(y)?? 0,其他.?即Y?1?e
?2X在区间（0，1）上服从均匀分布。
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20．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5。设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列。
解 由题设可知X~B(3,)，且X的所有可能的取值为0，1，2，3。依二项概率公式
25X的分布列为
P{X?k}?C3()(1?)经计算得
P{X?0}?k25k253?k(k?0,1,2,3)
2754368，P{X?1}?，P{X?2}?，P{X?3}? 12512512512521．某厂生产的螺栓中次品占1%，该厂将10只螺栓装成一包出售，并保证当某包内
的次品数多于一只即可退货，假定每出售一包获利0.5元，；退货一包亏本0.1元。求：
（1）螺栓被退货的比例多大？
（2）该厂每生产一包螺栓（获利数额）的分布列。
解 已知螺栓次品占1%，即每只螺栓为次品的概率为0.01。“将10只螺栓装成一包”可看成“从生产的螺栓中随机地取10只装成一包”。因此若设X?{一包螺栓中的次品数}，由于螺栓个体之间是相互独立的，则X~B(10,0.01)，并且有
kP{X?k}?C100.01k?0.9910?k(k?0,1,?,10)
螺栓被退货的比例即每包螺栓被退货的概率，依题设就是
P{X?1}?1?P{X?1}?1?0.99?10?0.01?0.99?0.427% ?1?1.09?0.99
其次，设Y?{每生产一包螺栓的获利数额}，依题设有Y?0.5或?0.1，所求分布列为
9109P{Y??0.1}?P{X?1}?1?1.09?0.999 P{Y?0.5}?P{X?1}?1.09?0.999
22．装配成圆珠笔尖的小钢珠的重量X服从正态分布N(0.05,0.05)，而钢珠直径Y是
2X的线性函数Y?2X?1。已知用直径小于0.972、介于0.972和1.228之间，以及大于
1.228的钢珠装配成合格珠笔尖的概率分别为0.12,0.80和0.08，试求：
（1）随机变量Y的分布密度；
（2）用这批钢珠中任一个装配成合格笔尖的概率。
解 因为Y是X的线性函数，所以Y也服从正态分布，设Y~N(?,?)，则
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2 ??2?0.05?1?1.1,??2?0.05?0.1 于是Y~N(1.1,0.12)，而Y的分布密度则为
1fY(y)?e2??0.1?(y?1.1)22?0.1210?50(y?1.1)2 ?e2?设A?{任取一个钢珠装配成合格笔尖}，则所求概率为P{A}。因为已知有
P{AY?0.972}?0.12，P{A0.972?Y?1.228}?0.80，P{AY?1.228}?0.08
且
P{Y?0.972}?P{2X?1?0.972}?P{X??0.014}?P{X?0.05??1.28}
0.05??(?1.28)?1??(1.28)?1?0.9?0.1
P{0.972?Y?1.228}?P{0.972?2X?1?1.228}?P{?0.014?X?0.114}
?P{?1.28?X?0.05?1.28}?2?(1.28)?1?2?0.9?1?0.8 0.05P{Y?1.228}?P{2X?1?1.228}?P{X?0.114}?1?P{X?0.114}
?1?P{所以
P{A}?P{Y?0.972}P{AY?0.972}
X?0.05?1.28}?1??(1.28)?1?0.9?0.1 0.05?P{0.972?Y?1.228}P{A0.972?Y?1.228}
?P{Y?1.228}P{AY?1.228}
?0.1?0.12?0.8?0.80?0.1?0.08?0.66
23．在5件产品中，正品占2件，次品占3件。今从中一件一件地取出来检验，检验完不放回，直到把三件次品都找到为止。记X为3件次品都找到时已经做的检验次数。求：
（1）X的分布列；
（2）检验次数不少于4次的概率。
解 依题设X的所有可能的取值为3，4，5。由古典概型可得X的分布列：
3113223A3C3A2A33C4A2A331 P{X?3}，?3?，P{X?4}??P{X?5}?? 5A510A5410A55 13
5（关于P{X?5}的计算：这时5件产品都做了检验，因此基本事件数为n?A5。而从含
{X?5}的事件数考虑：前4次检验中一定有2件正品，而2件正品在前4次检验中的排列
22223法有C4A2种。再考虑到其余3件次品的全排列，则含{X?5}的事件数为m?C4A2A3。
类似地可得出P{X?4}的计算法）。
检验次数不少于4次的概率为
P{X?4}?P{X?5}?339?? 1051024．某电子元件厂生产一批电子管，电子管的寿命X（以小时计）具有如下的概率密
?1000,x?1000?度f(x)??x2。寿命高于2000小时，介于1250~2000小时，以及低于1250
??0,x?1000小时的电子管分别是一等品，二等品和次等品。用一只一等品或二等品或次等品装配的收音
机，成为合格品的概率依次为0.9，0.8和0.5。试求：
（1）从该批产品任取一只电子管是一等品，二等品或次等品件的概率； （2）从该批产品任取一只装配成合格收音机的概率；
（3）假设销售一只一等品或二等品，厂家可获利6元或4元，销售一只次品，厂家亏损3元，求厂家销售任取的一只电子管可获的利润的分布列。
解 设A1,A2,A3分别表示任取一只电子管是一等品，二等品或次等品的事件，B表示任取一只电子管装配成合格收音机的事件，Y表示销售任取的一只电子管可获的利润
（1）所求概率分别为
1000dx?0.5 ?20002000x2200020001000f(x)dx??dx?0.3 P{A2}?P{1250?X?2000}??212501250x125011000250f(x)dx??dx?0.2 P{A3}?P{X?1250}??01000x2 P{A1}?P{X?2000}???f(x)dx????（2）应用全概率公式，所求概率为
P{B}??P{Ak}P{BAk}?0.5?0.9?0.3?0.8?0.2?0.5?0.79
k?13（3）Y的分布列为
P{Y??3}?P{3A}?0.，2P{Y?4}?P{A2}?0.3，P{Y?6}?P{A1}?0.5
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25．测量某工件的随机误差X~N(0,102)，求在100次独立测量中至少3次测量误差绝对值大于19.6的概率。
解 设Y表示100次独立测量中事件{X?19.6}发生的次数。因为一次测量中 p?P{X?19.6}?1?P{X?19.6}?1?P{?19.6?X?19.6}
?1?P{?1.96?X10?1.96}?2?2?(1.96)?2?2?0.9750?0.05 所以Y~B(100,p?0.05)，于是所求的概率为
2 P{Y?3}?1?P{Y?3}?1??Ckkk100p(1?p)100?
k?026．若连续型随机变量X具有概率密度f(x)，求下列各随机变量的概率密度：（1）Y?X3；（2）Y?3X?1；（3）Y??3X?2。
解 （1）因为
F3Y(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{X?y}??33y??f(x)dx所以 f1Y(y)?FY?(y)?333y2f(y)
（2）因为
FY(y)?P{Y?y}?P{3X?1?y}?P{X?y?13} y?1 ??3??f(x)dx
所以 fY(y)?FY?(y)?1y?3f(13) （3）因为
Fy)?P{Y?y}?P{?3X?2?y}?P{X?2?yY(3} ?1?P{X?2?y2?y
3}?1??3??f(x)dx
所以 fY(y)?FY?(y)?13f(2?y3)
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