???acosx,??x?,?22 （1）求系数a；10．设随机变量的概率密度为f(x)??（2）求??0,x???或x??.??22分布函数F(x)；（3）画出y?f(x)与y?F(x)的图形进行比较。
????解 由概率密度的性质，有
???f(x)dx???2?acosx?dx2sain??x?2?2 a12得a?1，于是 2当x??当??2时，F(x)??x??f(x)dx??0dx?0
??x?2?x??2时，F(x)??x??f(x)dx??2???2????0dx????11cosxdx?(1?sinx) ?222x当x?
?2
时，F(x)??x???f(x)dx??0dx??2?x1cosxdx???0dx?1 ?222??0,x???2?即 F(x)??1(1?sinx),???x??
?22?2??1,x??2??A,x?1,211．设随机变量X的概率密度为f(x)?? 求：（1）系数A；（2）?1?x?0,x?1.?P{?11?x?}。 22解 由概率密度的性质，有
?????f(x)dx??1A1?x2?1d?xaArcsi1n???A 1?1x得A?1?，于是
12?111111P{??X?}??21f(x)dx??21dx?arcsinx2??22?22?1?x12?1 36
12．某公共汽车站每隔8分钟有一辆公共汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过5分钟的概率。
解 乘客在前后两辆公共汽车到站的间隔8分钟的区间(0,8]内到达汽车站的任一时刻是一随机变量，设该随机变量为X，则X~U(0,8)（均匀分布），即X的密度函数为
?1?,0?x?8, f(x)??8
??0,其他.而所求概率为
P{0?X?5}??50f(x)dx??5015dx?。 8813．设电池寿命（单位：小时）是一个随机变量，它服从正态分布N(300,352)。（1）求这种电池寿命在250小时以上的概率；（2）求一个数x，使电池寿命在区间
(300?x,300?x内取值的概率不小于)0.9。
解 设该随机变量为X
（1）所求概率为
P{X?250}?P{因为
X?30010X?300????1.4286}?1?P{??1.4286} 35735X?300~N(0,1)，所以 35 P{X?250}?1??(?1.4286)??(1.4286)?0.9236 （2）依题设，要求数x满足
P{300?x?X?300?x}?0.9 因为
P{300?x?X?300?x}?P{???(于是
2?(xX?300x??}353535
xxx)??(?)?2?()?1 353535xx)?1?0.9，或?()?0.95 35357
x)?0.95，查标准正态分布表（即附表2），得?(1.645)?0.95，所以取 35x?1.645 或 x?1.645?35?58 3514．工厂生产某高级电子元件，其寿命X（以年计）服从指数分布，X的概率密度为
由?(x?1?14?e,x?0，工厂规定出售的电子元件在一年内损坏可调换。若工厂出售一个电f(x)??4?0,x?0?子元件盈利100元，调换一个需花费300元，试解答以下各题。
（1）求一个电子元件在一年内损坏的概率；
（2）若某仪器装有5个这种电子元件，且它们独立工作，求在使用一年内恰有3个元件损坏的概率；
（3）求出售一个电子元件盈利Y元的分布列。 解 （1）所求概率为
P{0?X?1}??10x1?1?4f(x)dx??edx?1?e4
041（2）此系n?5重贝努里试验概型B(5,p)，由（1）知参数p?1?e公式，所求概率为
14314212143?14，按二项概率
P5(3)?C(1?e)(e)?10e(1?e)
（3）由已知出售一个电子元件盈利Y?100元，而出售的电子元件在一年内如损坏，扣除调换花费300元，则盈利Y??200元，即Y的取值为100,?200，并且有
P{Y??200}?P{0?X?1}? P{Y?100}?所以Y的分布列为
Y 100 e?1435??????1e
14?1PY{??200?}e
?200 1?e?14?14P
15．设人的某项特征（如左手执笔等）由一对基因d（显性）和r（隐性）决定，而且有dd基因（纯显性）和dr基因（混合性）的人，都显露该特性。设一对夫妇两人都是混合性，且每个孩子从父（母）亲的两个基因中继承某一个是等可能的，则该夫妇所生三个孩子中至多有两个显露该特征的概率是多少？
8
解 当一对夫妇两人都是混合性时，其孩子的基因可能为dd，dr，rd?dr和rr，且继承dd基因（纯显性）和dr基因（混合性）的概率分别为率为p?11和，于是显露该特性的概423。因此若设X?{该夫妇所生三个孩子中显露该特征的个数}，则43X~B(3,p?，于是所求的概率为)
43k13?k12k37 P{X?2}??C()()??C3?
448k?064k?0k3216．设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布，其概率密度
x?1?1?e5,x?0为fX(x)??5。某顾客在窗口等候服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月
?0,其他?到该银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布列，并求P{Y?1}。
解 该顾客每次到银行未等到服务而离开窗口的概率为
p?P{X?10}?1?P{0?X?10}?1??fX(x)dx?1??010100x1?5edx?e?2 5于是Y~B(5,p)，故Y的分布列为
k?2k P{Y?k}?P(1?e?2)5?k5(k)?C5e(k?0,1,?,5)
而 P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?(1?e)
17．设电源电压X服从正态分布N(220,25)，又设在下列三种情况下某种电子元件损坏的概率分别是0.1，0.001和0.2：（1）X不超过200伏；（2）X在200~240伏之间；（3）X超过240伏。
求：（1）电子元件损坏的概率；（2）若已知电子元件损坏，问该电子元件处于何种情况下损坏的可能性最大，为什么？
解 设A1?{X不超过200伏}，A2?{X在200~240伏之间}，A3?{X超过240伏}，
2?25B?{电子元件损坏}，则A1,A2,A3构成一完备事件组，且据已知有
P{BA1}?0.1，P{BA2}?0.001，P{BA3}?0.2
9
及
X?220??0.8}??(?0.8)?1??(0.8)?0.2119 25X?220P{A2}?P{200?X?240}?P{?0.8??0.8}
25?2?(0.8)?1?2?0.7881?1?0.5762
X?220P{A3}?P{X?240}?1?P{X?240}?1?P{?0.8}
25?1??(0.8)?1?0.7881?0.2119 P{A1}?P{X?200}?P{于是由全概率公式，可得电子元件损坏的概率 P{B}?3?P{A}P{BA}
kkK?1?0.2119?0.1?0.5762?0.001?0.2119?0.2?0.0641462
而由贝叶斯公式可得 P{A1B}?P{A1}P{BA1}P{B}?0.2119?0.1?0.330339
0.06414620.5762?0.001?0.008983
0.06414620.2119?0.2?0.660678
0.0641462 P{A2B}?P{A2}P{BA2}P{B}P{A3}P{BA3}P{B}?P{A3B}??所以当电子元件损坏时，该电子元件处于X超过240伏的状况时的可能性最大。
18．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内利润的概率分布。
解 设X?{机器在一周内发生故障的次数}，Y?{一部机器在一周内的利润}，则
X~B(5,0.2)，并且有
P{X?k}?C50.20.8kk5?k(k?0,1,?,5)
依题设Y的取值（单位：万元）与X的关系如下表： 1 2 ?3 X 0 Y 于是
10 5 0 5 ?2 P{Y?10}?P{X?0}?0.8?0.32768，
10