软件学院2013级《高等数学》（下）综合练习
一、指出下列各题解题错误的原因，并给出正确的解法。 1、求z=x+(y-1)arctan?z?xx在点(0,1)的偏导数。 y错解：
x=0y=1轾11=犏1+(y-1) 犏1-x/y2x/y y犏臌不存在
x=0y=1?z
?yx=0y=1轾11x=犏arcsinx/y+(y-1)鬃(-)不存在 2犏y1-x/y2x/y yx=0犏臌y=1xy?0?1,2、求z?f(x,y)??，求fx'(0,0)。
?x?y,xy?0错解：因为x0?y0?0,所以应该用下面的表达式，即z=x+y ,
依照多元偏导就是一元导数的知识，有fx(0,0)?(x?y)x''(0,0)?1
3、设z=f(x,y)且dz=(x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy-y2)dy，求f(x,y)。 错解：由题设知
抖zz=x2+2xy-y2,=x2-2xy-y2 抖xy 故f(x,y)=òx3fdx=+x2y-xy2+C和f(x,y)=3'xòy3fdy=xy-xy-+C 3'y22 又由于上式应恒等，所以
x3y32222+xy-xy+C=xy-xy-+C
33x3=+23y+ C 即x=-y，因此 f(x,y)y4、设L为x2?y2?1上点A(?2曲线积分
,?2)到B(2,2)的逆时针的一段弧，求2222xdy?ydx?Lx2?y2。
?yx?Q?P,Q??，则可以验证
x2?y2x2?y2?x?y错解：令P??22?x?t(??t?) 故曲线积分与路径无关。从A到B的直线方程为?y?t22??xdy?ydxxdy?ydxtdt?tdt???0 所以，?222??Lx2?y2x?y2tAB?22
1
225、判断
?n1nn的敛散性。
错解：因为p?nn?1(n>1时)，按p-级数的收敛结论可知，该级数收敛。 6、判断级数
?2n?1?1n?(?1)n的敛散性
解：记un?12n?(?1)n，则
(?1)n?n?1?(?1)n?1n?2mun?1121??4?22lim?lim?lim(?1)n?1?????1不存在
n??un??n??114n?2m?1222n???2?nn?(?1)21 由于极限不存在，所以极级数发散。 7、求幂级数
?2n?1?xnn?12nn的收敛域
an?12n?1nn111?limn?lim??0 错解：因为limn??an??2(n?1)n?1n??12n?1(1?)nnn 所以级数的收敛半径为+?，故收敛域为（-?，+?） 二、解下列微分方程 1、(ex+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0
x+yx-y=sin （应用和角公式展开） 22y， 4、f(xy)ydx+g(xy)xdy=0（令u=xy） x2、y'+sin3、xy'=yln5、y'=1y12 （令x+y=u）， 6、（化为：） y'=x'-x=y23(x+y)x+yy21+x2dy=2xsin2y+e27、1+xsin2ydx8、yy\-（令u=sin2y）
y'2=y2lny
三、求解下列微分方程的应用问题
1、设f(x)在[1,+∞)上连续，若y=f(x)、x=1, x=t(>1)所围图形绕x轴旋转的体积为
V(t)=
p2[tf(t)-f(1)]，试求y=f(x)所应满足的微分方程，并求y(2)=2/9的解。 32
2、若某二阶常系数线性齐次方程的特征方程的一个根为3+2i，写出该方程并解方程 3、已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xex+e2x-e-x为某二阶常系数线性
非齐次方程的三个解，求解该方程。
4、一质量为m的物体在粘性液体中由静止自由下落，若阻力与运动速度成反比（比例常数为k），求运动规律。
dsd2s提示：因(mg-k)=m2且s(0)=0,s'(0)=0
dtdt+ ìy\+4y'+4y=0?5、设y=y(x)满足?，求òy(x)dx í???y(0)=2,y'(0)=-406、已知y1(x)17、y=x为x2y2(x)均为y'+p(x)y=q(x)的解，求其通解。
y\-3xy'+3y=0的解，求x2y\-3xy'+3y=x3通解。
抖zz+x=0 抖xy四、求解下列偏导数（微分）问题
1、设z=f(x2-y2,y2-x2)，且f具有一阶连续偏导。证明：y2、设f(x,y)可微，且f(0,0)=0,fx'(0,0)=a,fy'(0,0)=b,g(t)=f(t,f(t,t))，求g'(0) 3、设z=f(x,y)由方程ex/2+ey/2=2e所确定。求zx, zy .
x4、设z=f(u)，而方程u=j(u)+òp(t)dt确定了u是x,y的函数，其中f(u),j(u)均可微，p(t)
y连续，且j'(u)11，求p(y)抖zz+p(x) 抖xy5、求函数z=ln(x+y)在点(1,2)处沿着抛物线y2=4x在该点切线方向上的方向导数。 6、设f,g连续可导，且u?f(x,xy),v?g(x?xy)，求ux,vx,uxy,vxy 7、设z?f(exsiny,x2?y2)，其中f二阶连偏，求zxy 8、设方程z?\''\\yx2?y2?z2?x3f()确定了隐函数z=g(x,y)。证明：曲面z=g(x,y)上任一
x2点M(x,y,z)处的切平面在oz轴上的截距与切点到原点的距离之比为定值。
9、求z?x?y?xy?x?y在闭区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y??3}上的最值。 五、求解下列积分问题： 1、计算积分I=2蝌xydxdy，其中D={(x,y):0＃yD11y21,＃x213-y2}
dx2、设函数f(x)在[0,1]上连续，且òf(x)dx=A，求蝌00f(x)f(y)dy
x 3
3、求平面z=x-y,z=0与柱面x2+y2=ax所围成的体积(a>0)。 4、一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xOy坐标为底，在xOy面上的投影为{(x,y)| x2+y2≥1}和{(x,y)| x2+y2≤2x}在第一象限的公共部分。求柱体的体积。
5、计算曲面积分蝌dS，其中，S是球面x2+y2+z2=4在平面z=1上方的球冠。
S1z6、设L为正向的圆周x2+y2=9，求曲线积分ò(2xy-2y)dx+(x2-4x)dy
L7、求曲线y=最小。 8、求曲线y=tx的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0和x=2所围成的图形的面积
x+1与直线x=1,x=2,y=0所围图形分别绕x轴和y轴所成的体积。
tcosu9、求曲线x=蝌du, y=u11sinudu自原点（0，0）到它右边第一条垂直切线的切点间的u的孤长。（提示：分别求出原点和切点对应的参数t的值）。
10、（绝对值函数积分问题的处理）由z?x2?y2及z=1所围的空间体中分布有密度为
?(x,y)?|x|?|y|的质量，求总质量。
11、求I?222，其中D?{(x,y)|x?y?2ax?0} (x?y?2y)dxdy??D1112、（由积分限定积分区域）求dx0??xy1?y3dy
x213、求J?222222222?，其中是两球和的公共部分 x?y?z?ax?y?z?2azzdv????14、计算I?sinxy22x?1?1?y，其中D的左右边界分别为与（利用对dxdyx?y??xD称性和齐偶性）
解：D关于x轴对称，而被积函数关于y为奇函数，所以
sinxyI??dx?dy??dxx01?x?1x22x?x2sinxy?2xdy?0?0?0 2x?x11115、设f(x)在区间[0,1]上连续，并设
1?f(x)dx?A，求J=?dx?f(x)f(y)dy
00x 解：记F(x)??f(y)dy，则F'(x)??f(x),F(0)?A,F(1)?0，于是
x1112A21 J???f(x)F(x)dx???F(x)dF(x)??F(x)0?2200
4
16、若D?{(x,y2)x|?2y?2，f(x,y)r,?r0}为D上的连续函数，求
lim1r?0?r2??f(x,y)dxdy
D4217、计算dy1??Lylnxdx（交换积分次序） x2?118、计算
22222，其中L为球面与平面x+y+z=0之交线。 x?y?z?Rzds? （利用对称性，在计算积分问题时，对称性、奇偶性是首先要考虑的！）
19、求y2ds，其中L为摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost),(0?t?2?) （纯定义法）
?L20、求
?Lz22x2?y2ds，其中L为柱面x2?y2?R2与平面z=y的交线。 (挖掘参数方程）
( L的参数方程为x=Rcost,y=Rsint,z=Rsint (0?t?2?) ) 21、计算(x?y)dx?(y?x)dy，其中L是：
L? （1）先沿直线从A(1,1)到B(1,2)，再沿直线到C(4,2)
（2）抛物线x=y2上从A(1,1)到C(4,2)
?x2?y2?122、计算?(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz，其中L是曲线?从z轴正向看
?x?y?z?2L去的顺时针方向。（曲线的参数方程）
(曲线L的参数方程为x?cost,y?sint,z?2?cost?sint,t:2??0) 23、求
3y3y222
，其中L为正向圆周曲线x+y=a. (Green公式) (yx?e)dx?(xy?xe?2y)dy?L24、求I?(x?y)dx?(x?y)dy，其中L为沿抛物线由点A(-1,0)到B(1,0)的弧。（凑Green22?x?yL公式，且注意避开暇点） 25、求I?12(L?xy?)eyocdxs(?其中L为由点A(-1,1)沿抛物线y=x2到O(0,0)，)y?xeydy，
再沿直线到B(2,0). （部分利用与路径无关）
注：I?12xydx?edx?(cosy?xe)dy?I1?I2，其中I2与路径无关。
LL222226、求球面x?y?z?a(a?0)被平面z???yyaa,z?所夹部分的面积。 4227、求28、求
22222，其中是球面x?y?z?a(a?0) zdS???????xyzdv，V由曲面xV2?y2?z2?1，z=0，y=0,x=0所围成
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