六、判断下列级数的敛散性 1、12?1?12?1??13?1?13?1?????1n?1?1n?1????。
提示：加括号
?1??1????n?1n?1??n?1?2发散 n2、
?n?1??13n2?1； 3、
??n?1??1nx1?x20（dx；
x1?x21/n?x而?0xdx?21收） 3n3/21???1?4、?1?cos?； 5、ln?1??
n??n?n?1?n?1?￥?骣e÷6、?n!?÷?÷ （比值法时极限为1，但是从大于1的一侧趋于1，故发散） ?桫nn=17、?n1!+2!+...+n!1!+2!+...+n!nn!n1<=<2） （比较法：
(n+3)!(n+3)!(n+3)(n+2)(n+1)n(n+3)!n=1?￥11n?1n?128、； 9、（由ln(1+x) ?1?an?1?1nn；（a>1时，(a?0)1?a?a有n1n11n1?a?2；时，有） ?()收?a?1a1+an1?an21xlnn111、 ?xn?1?(x?0)（由xlnn?elnnlnx?nlnx有lnn11?1nlnx知，当lnx>1时收，当lnx<=1时散） 12、 ?n?1n1?1n（n11?1n1111； 13、；（与相比） sin(a?0)~）aa?1nnnnn?1??p??1?n?11?e?14、； 15、?e??1???(p?0)；（与p相比，极限为??） nn???2?n??n?1??n?12??????p(n!)2n!2nn!16、；（比值法） 17、；（比值法） 18、（比值法） n(2n)!(n?1)!n?1n?1n?1n???????b?2n2n19、（根值法） 20、??(其中an?0,n?1,2,???,liman?a?0,b?0)； x； n??n?3an?1n?1?n?n??提示：根值法知极限为若 1?o(?n)则收 nb11；当a=b时,an?b??n(?n?0),若?n~则散；若?n?o()则散；ann 6 2nn!2n?n?21、?（根值法） ;（比值法） 23、?;（根值法） 22、nlnn2n?1?n?1?n?1nn?13???n????24、 ?nn?1?enn!n（比值法）； 25、 ?3n?1?1n[2?(?1)n]n（根值法） 26、 ??1?1?（取f(x)?ln(1?)单增趋于0，且同负，条收） (?1)nln?1??； x?n?n?1(?1)n127、；（取f(x)?单减趋于0，且同正，条收） n?lnnx?lnxn?1??28、 ?n?1(?1)n?1a2n?1(2n?1)!!1(2n?1)!!?1（单减）且0???0，条收） （因n?1?an2n?2(2n)!!(2n)!!2n?129、 ?n?2??(?1)nn?(?1)n1np（无单调性,不能用莱布尼兹,用Sn,求出S2n+1及S2n=S2n+1+(2n)-1/2，条收） 30、 ?n?1?(?1)n 讨论p>1(绝收)，0 31、 ?(?1)(n?1nna?1)(a?0,a?1)； 提示：与1/n比较知不绝收；01时，单减趋0，均条收 32、 ?n?1?sinn2?1 ?（sinn2?1??(?1)nsin(n2?1?n)??(?1)nsin?n?1?n2单减） 七、解答下列级数问题 1、用定义求级数的和（部分和、部分和子列） （1）求 ?(n?1)!?1n 提示：：Sn? (n?1)!(n?1)!n?1?1（2）； （3）(n?1?n)； 1?2?????nn?1n?1?????（4） ??11?111??? 提示：（3）? n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)n(n?1)(n?2)??n?1??11?22、已知?2?，求? 2(2n?1)n6n?1n?13、已知级数 ?(?1)n?1?n?1an?2,?an?1?2n?1?5，证明级数 ?an?1?n收敛，并求出和数。 7 提示： ?(an?1??2n?1?a2n)是?(?1)n?1??n?1an的一个加括号级数，已知 ?an?1?n的奇数项级数收敛，从而 ?a??(ann?1n?1?2n?1?a2n)??[2an?12n?1?(a2n?1?a2n)]?10?2?8 ?4、设{xn}是正的单调递增数列，且有上界，判别级数 nn??xn??1??的敛散性。 xn?1?n?1?xx?x提示：(1?n)?n?1n?0且Sn?xn?1xn?1?i?1?xi?1?xi?xi?12an,??i?1xi?1?xixn?1?x1及{xn}有界 ?x1x12收敛。（提示：an??an,anan?1??an） 5、设正项级数 ?an?1?n收敛，证明级数 ??aan?1n?1nn?16、设{an}是正数列，且liman?a?0，证明级数 n???an?1?n?1?an与级数 ?an?1?1?n?11有相同的an1敛散性。（提示：liman?1?1ann??|an?1?an|?lim1an?1ann???1a2） 7、设级数 ?(un?1?n?un?1)收敛，级数 ??n?1?n绝对收敛，证明级数 ?uvn?1?nn绝对收敛。 提示：由Sn??(uk?1nk?uk?1)?un?u0收敛知un收敛，进而有界。故|unvn|?Mvn收 n?1?8、设正项数列{an}单调减少，且级数(?1)nan发散，证明级数??收敛。 a?1?n?1n?1?n????提示：（1）liman=a>0，（2）由根值法有limnun?八、求解下列幂级数问题 1、求下列幂级数的收敛半径和收敛域： ??n?n（1）???n?1???n?0?1?1收 a?1???x?（根值法可得R=e） （2） ??n?(?1)n?1?x?1?x?X，先??提示：令2n?11?x1?x??n?1?n(?1)nn1?x分析X的收敛范围为X?(?1,1]，再解不等式?1??1，得x?(??,0] 2n?11?xn?1??（3） ?(?1)n?0?n14?xn 8 ?1?1?|x|?1un?1?1提示：因lim，而当|x|?1时,limun??0（发散），故收敛域为|x|?1 ??|x|4un?1, ?|x|?1?（4） ?n?1??(?1)n?1?2nn31nn|x|（比值法） （5） n?n?0?2?(?1)n2nxn（根值法） （6） ?2nxn?2?2n?3（根值法） 2、求幂级数的和函数及求数项级数的和值 （注意收敛域） （1）求 ?n(n?2)x的和函数，并求?nn?1n(n?2)的和值 n?12n?1??2n?12n(n?1)2（2）求的和值 x的和函数，并求 n!n!n?0n?0?????2n?12nnn?n?1（3）求(?1)，并求(?1)的和值。 x的和函数（分x=0与≠0）n(2n?3)!2n?0n?0?n??n2?n?1??1??1? 提示：(?1)?n(n?1)??????? n22??n?0?2?n?0n?0??nn??n4n2?12n(?1)n(4n2?1)?2n（4）求幂级数(?1)的和。 x的收敛域及和函数，并求级数 (2n)!(2n!)n?0n?0??n??解：（i）求出收敛半径R=+∞ ? （ii）因 4n2?12n2n(?1)n2nn2n(?1)x?(?1)x?x(2n)!(2n?1)!(2n)!n?0n?0n?0n??????xx?(?1)2n2n?1(?1)(2n?2)2n?1x?cosx??xx(2n?1)(2n?1)n?1n?0?n??n ?xf(x)?cosx而 ?0x2n?1f(t)dt?x(?1)?xsinx (2n?1)!n?0??n故S(x)= - x f’(x)-cosx= -x2cosx-cosx-xsinx （iii）把x??代入S(x)即得级数的和值为1??2 3、将下列函数展开为相应的幂级数（注意收敛域） 1（1）将f(x)?2展开为(1)x的，以及(2)x-4 的幂级数 x?5x?6（2）设f(x)?arctan1?x（i），将f(x)展开成x的幂级数，并求收敛域；(ii)利用展开式求f(101)(0) 1?x11?x2?解：（i）因f'(x)??(?1)n?0?n2nx,(?1?x?1)，逐项积分，有 9 f(x)?f(0)??(?1)?nn?00?x(?1)n2n?1及f(0)=1其收敛域为x?[?1,1) xdx?x2n?1n?02n??（ii）由泰劳展式f(x)??n?0?f(n)(0)nx知第n=101项对应于级数的第n=50项 n!f(101)(0)(?1)50??f(101)(0)?100! 故： 101!101（3）f(x)?ln(1?x?x2?x3)展开成x的幂级数 ?1?x2arctanx,?（4）设f(x)??x?1,?x?0,x?0,试将f(x)展开成x的幂级数，并利用幂级数展开式求级 数 ?n?1?(?1)n11?4n2的和。 x(i）(arctanx)'?11?x2??(?1)n?0?22nx有arctanx?arctan0??(?1)?nn?00?(?1)n2n?1xdx?x(|x|?1) 2n?1n?02n?? 而上述级数在x??1时也收敛，故收敛域为[-1,1]. (?1)n所以，当0?|x|?1时，f(x)?1?2x2n?2 (2n?1)(2n?3)n?0?? 又由于f(x)在x=0处连续，所以上式对一切|x|?1均成立。 (?1)n(?1)n?? (ii)因f(1)=，又由级数结果知f(1)?2，故? 2n?12n?142n?0n?0????(?1)n?11??1进而?????? 222n?12n?1??42n?11?4nn?1??(?1)n??x44、(利用级数求高阶导数)求函数f(x)?在x=0处的各阶导数 31?x???1f(n)(0)n3nn3n?4解：因?(?x)，有f(x)?(?1)x及f(x)?x 3n!1?xn?0n?0n?0???k?f(3n?4)(0)?(?1)(3k?4)!,n?3k?4n(n)因此 ?(?1)从而f(0)??(3n?4)!??0, n?3k?45、 用x的幂级数表示下列函数的满足F(0)=1的原函数： （1）f(x)?1?cosxln(1?x) （2）f(x)? xx解：有些函数的原函数不能用初等表达式给出，但可用级数的和函数来表示。 10 (?1)n2n(?1)n2n?1 （1）因cosx?1?，逐项积分，有 x，故f(x)??x(2n)!(2n)!n?1n?1????xF(x)?F(0)??0(?1)nx2n f(t)dt??2n(2n)!n?1??(?1)nxnxn?1n （2）因ln(1?x)? (?x)??, x?[?1,1)故x?0时，f(x)??nnnn?1n?1n?1?x??t???因x=0为f(x)的可去间断点，故f(x)在[-1,1)上可积，从而有 F(x)?F(0)??f(t)dt????0n?10?xn?1ndt???nn?1?xn2, x?[?1,1] x2n6、设f(x)是幂级数1?(?1)在（-1，1）内的和函数，求f(x)的极值。 2nn?1??n1解：通过求和函数可得f(x)?1?ln(1?x2),x?(?1,1) 2再求驻点得x=0，再用f ”(0)的符号知：在x=0处有极大值f(0)=1 11 求级数 ?(nn?2?12?1)2n的和。 解：求 ?nn?2?12?1xn的和函数在x=1/2时的值。 求和函数时要利用 ?43!1?11?????拆开分别求。 n2?12?n?1n?1???17、设xn???2??65!?2n?2(2n?1)!，求limxn n???x2n?2解：（1）xn是级数的前n项和。（2）所求极限是级数在x=?处的值。 (2n?1)!n?1?x2n?1x2n' （3）设和函数S(x)?xS1(x)?x，则S1(x)?， (2n)!(2n)!n?0n?0????1'(x)??ex，所以S1(x)?e2x?Ce?x 从而S1(x)?S12x2x?x?又因S1(0)?0，知C=-1/2,即故 S(x)?xS1(x)??e?e? 2? 11